На стороне BC треугольника ABC отметили точку P так, что BP : PC = 5 : 6. Через точку P провели прямую, которая параллельна стороне AC треугольника и пересекает сторону AB в точке N. Найдите сторону AC, если PN = 15 см.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами похожих треугольников и теорией пропорций.

Итак, у нас есть треугольник ABC, в котором точка P делит сторону BC в отношении 5:6. Это означает, что если BP = 5k, то PC = 6k для некоторого положительного числа k.

Следовательно, BP + PC = 5k + 6k = 11k, так что вся длина BC равна 11k.

Теперь проведём прямую через точку P, параллельную стороне AC, которая пересекает сторону AB в точке N. По теореме о пропорциональности отрезков, если две параллельные линии пересекают стороны треугольника, то они делят эти стороны пропорционально.

Так как PN = 15 см, мы можем установить пропорции между отрезками AB и AC. Если BP = 5k, то отрезок AN делится в том же отношении 5:6.

Пусть длина AC равна x см. Тогда получаем:

\[ \frac{AN}{NB} = \frac{BP}{PC} = \frac{5}{6} \]

Ясно, что сегмент AB будет делиться на части: AN и NB, где AN соответствует 5 долям, а NB — 6 долям. Обозначим AN как 5m и NB как 6m, тогда:

\[ AN + NB = AB \Rightarrow 5m + 6m = 11m = AB \]

Поскольку PN и AC параллельны, то отрезок PN также будет пропорционален двум другим отрезкам, которые мы уже обозначили.

Теперь запишем пропорцию между PN и AC:

\[ \frac{PN}{AC} = \frac{BP}{BC} \]

Из этого следует, что:

\[ \frac{15}{x} = \frac{5}{11} \]

Теперь можем найти x:

\[ 15 \cdot 11 = 5 \cdot x \Rightarrow 165 = 5x \Rightarrow x = \frac{165}{5} = 33 \text{ см} \]

Таким образом, длина стороны AC равна 33 см.