решите уравнение 3cos²x+8cosx-3=0 с применением основного тригонометрического тожества
Чтобы решить уравнение \(3\cos^2 x + 8\cos x - 3 = 0\), начнем с использования основного тригонометрического тождества, которое говорит о том, что \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\), но в данном случае, так как у нас есть только \(\cos x\), мы можем обозначить \(y = \cos x\). Таким образом, наше уравнение примет вид:
\[3y^2 + 8y - 3 = 0.\]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула для нахождения дискриминанта \(D\) следующая:
\[D = b^2 - 4ac,\]
где \(a = 3\), \(b = 8\), \(c = -3\). Подставим значения:
\[D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100.\]
Теперь найдём корни уравнения с помощью формулы:
\[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]
Подставляем значения:
\[y_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 10}{6}.\]
Теперь найдем два корня:
- \(y_1 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3},\)
- \(y_2 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3.\)
Поскольку \(\cos x\) не может принимать значения меньше -1, то второе значение \(y_2 = -3\) не подходит. Оставляем только \(y_1 = \frac{1}{3}\).
Теперь вернемся к тригонометрической функции:
\[\cos x = \frac{1}{3}.\]
Используя обратные функции, мы можем найти значения \(x\):
\[x = \cos^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z},\] или \[x = -\cos^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.\]
Таким образом, общее решение уравнения:
\[x = \pm \cos^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.\]
Если нужно, я могу помочь с дальнейшими объяснениями или примерами.
