Найдите сумму 7 первых членов геометрической прогрессии,если b3 =8 и b6 = -64
Чтобы найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии, где \(b_3 = 8\) и \(b_6 = -64\), давайте сначала найдем общий знаменатель и первый член прогрессии.
В геометрической прогрессии можно записать члены прогрессии в следующем виде:
\[ b_n = a \cdot r^{n-1} \]
где \(a\) — первый член прогрессии, \(r\) — знаменатель прогрессии.
Из условия задачи имеем:
- \(b_3 = a \cdot r^2 = 8\)
- \(b_6 = a \cdot r^5 = -64\)
Теперь мы можем составить систему уравнений:
- \(a \cdot r^2 = 8\)
- \(a \cdot r^5 = -64\)
Для того чтобы выразить \(a\) через \(r\), мы можем из первого уравнения выразить \(a\):
\[ a = \frac{8}{r^2} \]
Теперь подставим это значение во второе уравнение:
\[ \frac{8}{r^2} \cdot r^5 = -64 \]
Упрощаем уравнение:
\[ 8 \cdot r^{5-2} = -64 \] \[ 8 \cdot r^3 = -64 \] \[ r^3 = -8 \] \[ r = -2 \]
Теперь подставим значение \(r\) в выражение для \(a\):
\[ a = \frac{8}{(-2)^2} = \frac{8}{4} = 2 \]
Таким образом, \(a = 2\) и \(r = -2\).
Теперь можно найти сумму первых 7 членов геометрической прогрессии. Формула для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии выглядит так:
\[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}, \quad r \neq 1 \]
В нашем случае:
\[ S_7 = 2 \frac{1 - (-2)^7}{1 - (-2)} \]
Вычисляем \((-2)^7\):
\[ (-2)^7 = -128 \]
Теперь подставим это значение в формулу:
\[ S_7 = 2 \frac{1 - (-128)}{1 + 2} = 2 \frac{1 + 128}{3} = 2 \frac{129}{3} = 2 \cdot 43 = 86 \]
Итак, сумма первых 7 членов геометрической прогрессии равна \(86\).
