Cos(2x-π/4)>1/√2

Чтобы решить неравенство \( \cos(2x - \frac{\pi}{4}) > \frac{1}{\sqrt{2}} \), начнем с анализа выражения.

1. Напомним, что \( \cos(\alpha) > \frac{1}{\sqrt{2}} \) означает, что угол \( \alpha \) находится в определенных интервалах. Мы знаем, что \( \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} \) при \( \theta = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \) и \( \theta = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \) для любого целого числа \( k \).

2. Поскольку нам нужно, чтобы \( \cos(2x - \frac{\pi}{4}) > \frac{1}{\sqrt{2}} \), это значит, что угол \( 2x - \frac{\pi}{4} \) должен находиться в интервале: \[ 2x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x - \frac{\pi}{4} > -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

3. Раскроем оба неравенства:

   • Первое неравенство: \[ 2x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4} + 2k\pi \implies 2x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x < \frac{\pi}{4} + k\pi \]
   • Второе неравенство: \[ 2x - \frac{\pi}{4} > -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \implies 2x > 0 + 2k\pi \implies x > k\pi \]

4. Теперь объединим оба результата. Получаем, что: \[ k\pi < x < \frac{\pi}{4} + k\pi \] для каждого целого \( k \).

Таким образом, решение неравенства \( \cos(2x - \frac{\pi}{4}) > \frac{1}{\sqrt{2}} \) можно записать как \( x \in (k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi) \) для всех целых \( k \).