13.Если шарик массой m = 100 г, прикрепленный к горизонтальной пружине жесткостью k = 40 Н/м , отвести от положения равновесия на А=18см и отпустить, то он совершает гармонические…
13.Если шарик массой m = 100 г, прикрепленный к горизонтальной пружине жесткостью k = 40 Н/м , отвести от положения равновесия на А=18см и отпустить, то он совершает гармонические колебания. Найти проекции скорости шарика в момент, когда его координата равна х=9,0см.
Чтобы найти проекцию скорости шарика, когда его координата равна \( x = 9,0 \) см, нам нужно воспользоваться законами гармонических колебаний.
В гармонических колебаниях механическая энергия сохраняется и состоит из потенциальной энергии пружины и кинетической энергии шара. Потенциальная энергия пружины \( U \) задается формулой:
\[ U = \frac{1}{2} k A^2 \]
где \( k \) — жесткость пружины, а \( A \) — амплитуда колебаний.
Кинетическая энергия \( T \) шара определяется как:
\[ T = \frac{1}{2} m v^2 \]
где \( m \) — масса шара, а \( v \) — его скорость.
Суммарная механическая энергия \( E \) системы в любое время равна:
\[ E = U + T \]
Для задачи:
Переведем данные в SI:
- Масса \( m = 100 \) г = \( 0.1 \) кг
- Жесткость \( k = 40 \) Н/м
- Амплитуда \( A = 18 \) см = \( 0.18 \) м
- Координата \( x = 9,0 \) см = \( 0.09 \) м
Найдем потенциальную энергию в позиции \( x = 9,0 \) см:
\[ U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot (0.09)^2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 0.0081 = 0.162 \text{ Дж} \]
Теперь найдем полную механическую энергию в позиции максимального отклонения (в момент, когда шарик находится на амплитуде):
\[ E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot (0.18)^2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 0.0324 = 0.648 \text{ Дж} \]
- Теперь, зная полную энергию и потенциальную энергию, можем найти кинетическую энергию в момент, когда \( x = 9,0 \) см:
\[ T = E - U = 0.648 - 0.162 = 0.486 \text{ Дж} \]
- Теперь подставим в формулу для кинетической энергии:
\[ 0.486 = \frac{1}{2} m v^2 \]
Подставляем массу:
\[ 0.486 = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \cdot v^2 \]
Упрощаем:
\[ 0.486 = 0.05 v^2 \]
\[ v^2 = \frac{0.486}{0.05} = 9.72 \]
\[ v = \sqrt{9.72} \approx 3.11 \text{ м/с} \]
Таким образом, проекция скорости шарика, когда его координата равна \( x = 9,0 \) см, составляет примерно \( 3.11 \) м/с.
