4.70 Өрнектің мәнін есепте: a) 1-sin²a 1-cos²a+ctga tga; ә) 1 1 cos²a ctg'a ; б) 1/(sin^2 alpha) - 1/(tan^2 alpha) ; e) sin^2 alpha + cot^2 alpha * sin^2 alpha ; 2) cos^2 alpha + tan^2 alpha * cos^2 alpha ; 2) sin^2 alpha * (1 + c * tan^2 alpha) ; d) cos^2 alpha * (1 + tan^2 alpha) ; e) (tan alpha + c * tan alpha) ^ 2 - (tan alpha - c * tan alpha) ^ 2

Давайте решим каждое из выражений по отдельности.

a) \( \frac{1 - \sin^2 a}{1 - \cos^2 a} + \cot a \cdot \tan a \)

Мы знаем, что \(1 - \sin^2 a = \cos^2 a\) и \(1 - \cos^2 a = \sin^2 a\). Подставляем:

\[ \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} + \cot a \cdot \tan a = \cot^2 a + 1 \]

Так как \( \cot a \cdot \tan a = 1 \), выражение упрощается до:

\[ \cot^2 a + 1 = \csc^2 a \]

ә) \( 1 + \cos^2 a + \cot^2 a \)

Известно, что \( \cot^2 a = \csc^2 a - 1 \). Подставим это в выражение:

\[ 1 + \cos^2 a + \cot^2 a = 1 + \cos^2 a + (\csc^2 a - 1) = \cos^2 a + \csc^2 a \]

б) \( \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \frac{1}{\tan^2 \alpha} \)

Здесь \( \tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \), следовательно:

\[ \frac{1}{\tan^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \]

Теперь подставляем:

\[ \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1 \]

е) \( \sin^2 \alpha + \cot^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha \)

Здесь мы используем \( \cot^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \):

\[ \sin^2 \alpha + \cot^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

ж) \( \cos^2 \alpha + \tan^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha \)

Тут аналогично, используем \( \tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \):

\[ \cos^2 \alpha + \tan^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \]

з) \( \sin^2 \alpha \cdot (1 + c \cdot \tan^2 \alpha) \)

Здесь \( \tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \), следовательно:

\[ \sin^2 \alpha \cdot (1 + c \cdot \tan^2 \alpha) = \sin^2 \alpha + c \cdot \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} \]

Это выражение можно оставить в таком виде, если \(c\) - произвольная константа.

и) \( \cos^2 \alpha \cdot (1 + \tan^2 \alpha) \)

Мы знаем, что \(1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha\):

\[ \cos^2 \alpha \cdot (1 + \tan^2 \alpha) = \cos^2 \alpha \cdot \sec^2 \alpha = 1 \]

к) \( (\tan \alpha + c \cdot \tan \alpha)^2 - (\tan \alpha - c \cdot \tan \alpha)^2 \)

Это можно решить как разность квадратов:

\[ = \left((1 + c) \tan \alpha\right)^2 - \left((1 - c) \tan \alpha\right)^2 \] \[ = (1 + c)^2 \tan^2 \alpha - (1 - c)^2 \tan^2 \alpha = \left((1 + c)^2 - (1 - c)^2\right) \tan^2 \alpha \] \[ = \left((1 + 2c + c^2) - (1 - 2c + c^2)\right) \tan^2 \alpha = 4c \tan^2 \alpha \]

Теперь у нас есть расчёты для всех выражений. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно дальнейшее объяснение, не стесняйтесь спрашивать!