7,5 * 9log81^16 - 9*4 1:log125^8
Чтобы решить выражение \( 7.5 \times 9 \log_{81}^{16} - 9 \times 4 \frac{1}{\log_{125}^{8}} \), начнем с упрощения логарифмов.
Упрощение логарифма \(\log_{81}^{16}\): \[ \log_{81}^{16} = \frac{\log_{10}(16)}{\log_{10}(81)} \] Поскольку \(81 = 3^4\), применим формулу логарифма: \[ \log_{10}(81) = \log_{10}(3^4) = 4 \log_{10}(3) \]
Также, \(16 = 4^2 = (2^2)^2 = 2^4\), следовательно: \[ \log_{10}(16) = \log_{10}(2^4) = 4 \log_{10}(2) \]
Теперь можем подставить значения: \[ \log_{81}^{16} = \frac{4 \log_{10}(2)}{4 \log_{10}(3)} = \frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(3)} = \log_{3}(2) \]
Упрощение второго логарифма \(\log_{125}^{8}\): \[ \log_{125}^{8} = \frac{\log_{10}(8)}{\log_{10}(125)} \] Учитывая, что \(8 = 2^3\) и \(125 = 5^3\), получаем: \[ \log_{10}(8) = 3 \log_{10}(2) \] \[ \log_{10}(125) = 3 \log_{10}(5) \] Таким образом: \[ \log_{125}^{8} = \frac{3 \log_{10}(2)}{3 \log_{10}(5)} = \frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(5)} = \log_{5}(2) \]
Теперь можем заменить логарифмы в исходном выражении: \[ 7.5 \times 9 \log_{3}(2) - 9 \times 4 \cdot \frac{1}{\log_{5}(2)} \]
Таким образом, итоговое выражение станет: \[ 67.5 \log_{3}(2) - 36 \cdot \frac{1}{\log_{5}(2)} \]
Обозначим \(\log_{3}(2)\) как \(x\) и \(\log_{5}(2)\) как \(y\), тогда готовое выражение выглядит так: \[ 67.5x - \frac{36}{y} \]
Теперь вы сможете подставить значения для \(\log_{3}(2)\) и \(\log_{5}(2)\) из таблиц логарифмов или использовать калькулятор для вычислений. Это завершит процесс. Если будут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
