Решите неравенство: ctgx ≤ 1. Опиши с окружностью

Чтобы решить неравенство \( \cot x \leq 1 \) с использованием тригонометрической окружности, сначала вспомним, что \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \). Неравенство \( \cot x \leq 1 \) можно переписать как:

\[ \frac{\cos x}{\sin x} \leq 1 \]

Умножив обе стороны на \( \sin x \) (при условии, что \( \sin x \neq 0 \)), получаем:

\[ \cos x \leq \sin x \]

Это неравенство выполняется, когда угол \( x \) находится в пределах, где синус больше или равен косинусу. Так как функции синуса и косинуса пересекаются в точках \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \) (где \( k \) — целое число), нужно определить, в каких областях углы удовлетворяют неравенству \( \cos x \leq \sin x \).

С помощью тригонометрической окружности мы увидим, что:

• В первом квадранте (от \( 0 \) до \( \frac{\pi}{2} \)) : \( \sin x \) больше \( \cos x \).
• Во втором квадранте (от \( \frac{\pi}{2} \) до \( \pi \)) : \( \sin x \) также больше \( \cos x \).
• В третьем квадранте (от \( \pi \) до \( \frac{3\pi}{2} \)) : \( \sin x \) меньше \( \cos x \).
• В четвертом квадранте (от \( \frac{3\pi}{2} \) до \( 2\pi \)) : \( \sin x \) снова меньше \( \cos x \).

Таким образом, неравенство \( \cos x \leq \sin x \) выполняется в интервалах:

\[ x \in \left[\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{3\pi}{4} + k\pi\right], \; k \in \mathbb{Z} \]

Сложим все найденные промежутки. Полный ответ для исходного неравенства заключается в объединении всех таких интервалов.

Таким образом, окончательное решение неравенства \( \cot x \leq 1 \) будет:

\[ x \in \left\{ \frac{\pi}{4} + k\pi \; | \; k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ \frac{3\pi}{4} + k\pi \; | \; k \in \mathbb{Z} \right\} \]