Написать каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (-2;3) у которой действительная полу ось горизонтальная и ровна 4, а мнимая полу ось равно 3. Найти координаты фокусов. Сделать чертеж.
Чтобы записать каноническое уравнение гиперболы с центром в точке \((-2, 3)\), действительной полуосью, равной 4, и мнимой полуосью, равной 3, необходимо использовать стандартную форму уравнения гиперболы.
Для гиперболы, у которой действительная полуось горизонтальна, уравнение имеет вид:
\[ \frac{(y - k)^2}{b^2} - \frac{(x - h)^2}{a^2} = 1 \]
где:
- \((h, k)\) — координаты центра гиперболы,
- \(a\) — длина действительной полуоси,
- \(b\) — длина мнимой полуоси.
В нашем случае:
- Центр \((-2, 3)\) \(\Rightarrow h = -2\), \(k = 3\)
- \(a = 4\)
- \(b = 3\)
Подставляем значения в уравнение:
\[ \frac{(y - 3)^2}{3^2} - \frac{(x + 2)^2}{4^2} = 1 \]
Упрощая это, получаем:
\[ \frac{(y - 3)^2}{9} - \frac{(x + 2)^2}{16} = 1 \]
Теперь найдем координаты фокусов гиперболы. Фокусы находятся на расстоянии \(c\) от центра, где \(c\) рассчитывается по формуле:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
В нашем случае:
\[ c = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
Так как действительная полуось горизонтальная, фокусы будут находиться на линии, проходящей через центр, по оси \(x\):
Координаты фокусов:
\[ (-2 - 5, 3) \quad \text{и} \quad (-2 + 5, 3) \]
То есть:
\[ (-7, 3) \quad \text{и} \quad (3, 3) \]
Итоговые результаты:
- Каноническое уравнение гиперболы: \[ \frac{(y - 3)^2}{9} - \frac{(x + 2)^2}{16} = 1 \]
- Координаты фокусов: \((-7, 3)\) и \((3, 3)\).
Черчение
Для чертежа гиперболы с указанными параметрами:
- Нарисуйте координатную плоскость.
- Отметьте центр гиперболы в точке \((-2, 3)\).
- Проведите вертикальную ось (параллельно оси \(y\)) длиной 6 единиц (по 3 вверх и вниз) от центра.
- Проведите горизонтальную ось (параллельно оси \(x\)) длиной 8 единиц (по 4 влево и вправо) от центра.
- Нанесите фокусы в точках \((-7, 3)\) и \((3, 3)\).
- Постройте гиперболу, проходящую через эти основные пункты, показывая, что она открыта влево и вправо.
