Метод подставлений x+y=1 x²+y²=5

Метод подстановки — это способ решения систем уравнений, который позволяет выразить одну переменную через другую и затем подставить это выражение в другое уравнение. Давайте применим этот метод к вашей системе уравнений:

1. У вас есть два уравнения: \[ x + y = 1 \quad (1) \] \[ x^2 + y^2 = 5 \quad (2) \]

2. Начнем с первого уравнения. Из него можно выразить \(y\) через \(x\): \[ y = 1 - x \quad (3) \]

3. Теперь подставим выражение (3) для \(y\) во второе уравнение (2): \[ x^2 + (1 - x)^2 = 5 \]

4. Раскроем скобки и упростим: \[ x^2 + (1 - 2x + x^2) = 5 \] \[ 2x^2 - 2x + 1 = 5 \]

5. Переставим уравнение так, чтобы все члены были с одной стороны: \[ 2x^2 - 2x + 1 - 5 = 0 \] \[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \]

6. Упростим уравнение, разделив все члены на 2: \[ x^2 - x - 2 = 0 \]

7. Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

8. Корни уравнения находятся по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} \]

   Это дает два решения: \[ x_1 = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]

9. Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\), используя уравнение (3):

   • Для \(x_1 = 2\): \[ y_1 = 1 - 2 = -1 \]
   • Для \(x_2 = -1\): \[ y_2 = 1 - (-1) = 2 \]

Таким образом, найденные пары \((x, y)\) являются:

1. \((2, -1)\)
2. \((-1, 2)\)

Эти точки удовлетворяют обеим исходным уравнениям.