Найти скалярное и векторное произведение векторов 2a-4b и 3b+c Если известно a(-3;1;4) b(5;-3;2) c(0;2;-3)

Для нахождения скалярного и векторного произведений векторов \( \mathbf{u} = 2\mathbf{a} - 4\mathbf{b} \) и \( \mathbf{v} = 3\mathbf{b} + \mathbf{c} \) нам сначала нужно выразить их в координатной форме.

Дано: \[ \mathbf{a} = (-3, 1, 4), \quad \mathbf{b} = (5, -3, 2), \quad \mathbf{c} = (0, 2, -3) \]

Найдём координаты вектора \( \mathbf{u} = 2\mathbf{a} - 4\mathbf{b} \):

\[ 2\mathbf{a} = 2 \cdot (-3, 1, 4) = (-6, 2, 8) \] \[ 4\mathbf{b} = 4 \cdot (5, -3, 2) = (20, -12, 8) \] \[ \mathbf{u} = (-6, 2, 8) - (20, -12, 8) = (-6 - 20, 2 - (-12), 8 - 8) = (-26, 14, 0) \]

Теперь найдем координаты вектора \( \mathbf{v} = 3\mathbf{b} + \mathbf{c} \):

\[ 3\mathbf{b} = 3 \cdot (5, -3, 2) = (15, -9, 6) \] \[ \mathbf{c} = (0, 2, -3) \] \[ \mathbf{v} = (15, -9, 6) + (0, 2, -3) = (15 + 0, -9 + 2, 6 - 3) = (15, -7, 3) \]

Теперь мы имеем векторы: \[ \mathbf{u} = (-26, 14, 0), \quad \mathbf{v} = (15, -7, 3) \]

Скалярное произведение:

Скалярное произведение векторов \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) вычисляется по формуле: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \]

Подставляя значения: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (-26) \cdot 15 + 14 \cdot (-7) + 0 \cdot 3 \] \[ = -390 - 98 + 0 \] \[ = -488 \]

Векторное произведение:

Векторное произведение векторов \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) вычисляется по формуле: \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -26 & 14 & 0 \\ 15 & -7 & 3 \end{vmatrix} \]

Рассчитаем определитель: \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 14 & 0 \\ -7 & 3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -26 & 0 \\ 15 & 3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -26 & 14 \\ 15 & -7 \end{vmatrix} \]

Теперь вычисляем каждый из определителей:

1. \[ \begin{vmatrix} 14 & 0 \\ -7 & 3 \end{vmatrix} = (14)(3) - (0)(-7) = 42 \]

2. \[ \begin{vmatrix} -26 & 0 \\ 15 & 3 \end{vmatrix} = (-26)(3) - (0)(15) = -78 \]

3. \[ \begin{vmatrix} -26 & 14 \\ 15 & -7 \end{vmatrix} = (-26)(-7) - (14)(15) = 182 - 210 = -28 \]

Теперь подставим найденные значения: \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = 42\mathbf{i} - (-78)\mathbf{j} - 28\mathbf{k} \] \[ = 42\mathbf{i} + 78\mathbf{j} - 28\mathbf{k} \]

Таким образом, мы имеем:

• Скалярное произведение: \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = -488 \)
• Векторное произведение: \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (42, 78, -28) \)