Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Найти угол между прямыми: а) АВ и СС1 ; б) DB и В1С1 ; в) AD1 и В1С ; г) АС и ВС

Для нахождения углов между прямыми в пространстве, нам нужно использовать векторы, представляющие эти прямые. Обозначим координаты вершин куба ABCDA1B1C1D1 следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(1, 1, 1)
• D1(0, 1, 1)

Теперь найдем векторы для каждой пары прямых.

а) Угол между прямыми AB и CC1

Вектор AB: \( \vec{AB} = B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0) \)

Вектор CC1: \( \vec{CC1} = C1 - C = (1, 1, 1) - (1, 1, 0) = (0, 0, 1) \)

Теперь можем найти косинус угла между векторами: \[ \cos \phi = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CC1}}{|\vec{AB}| |\vec{CC1}|} \] Скалярное произведение: \[ \vec{AB} \cdot \vec{CC1} = (1, 0, 0) \cdot (0, 0, 1) = 0 \] Длину векторов: \[ |\vec{AB}| = 1, \quad |\vec{CC1}| = 1 \] Тогда: \[ \cos \phi = \frac{0}{1 \cdot 1} = 0 \] Угол \( \phi = 90^\circ \).

б) Угол между DB и B1C1

Вектор DB: \( \vec{DB} = B - D = (1, 0, 0) - (0, 1, 0) = (1, -1, 0) \)

Вектор B1C1: \( \vec{B1C1} = C1 - B1 = (1, 1, 1) - (1, 0, 1) = (0, 1, 0) \)

Скалярное произведение: \[ \vec{DB} \cdot \vec{B1C1} = (1, -1, 0) \cdot (0, 1, 0) = -1 \] Длину векторов: \[ |\vec{DB}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}, \quad |\vec{B1C1}| = 1 \] Тогда: \[ \cos \phi = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot 1} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \] Угол \( \phi = 135^\circ \).

в) Угол между AD1 и B1C

Вектор AD1: \( \vec{AD1} = D1 - A = (0, 1, 1) - (0, 0, 0) = (0, 1, 1) \)

Вектор B1C: \( \vec{B1C} = C - B1 = (1, 1, 0) - (1, 0, 1) = (0, 1, -1) \)

Скалярное произведение: \[ \vec{AD1} \cdot \vec{B1C} = (0, 1, 1) \cdot (0, 1, -1) = 1 \] Длину векторов: \[ |\vec{AD1}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \quad |\vec{B1C}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \] Тогда: \[ \cos \phi = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \] Угол \( \phi = 60^\circ \).

г) Угол между AC и BC

Вектор AC: \( \vec{AC} = C - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0) \)

Вектор BC: \( \vec{BC} = C - B = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0) \)

Скалярное произведение: \[ \vec{AC} \cdot \vec{BC} = (1, 1, 0) \cdot (0, 1, 0) = 1 \] Длину векторов: \[ |\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}, \quad |\vec{BC}| = 1 \] Тогда: \[ \cos \phi = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Угол \( \phi = 45^\circ \).

Ответ:

а) 90°; б) 135°; в) 60°; г) 45°.