Какие уравнения являются дифференциальными уравнениями в полных дифференциалах

На фото представлены уравнения, и тебе нужно определить, какие из них являются уравнениями в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение называется полным, если оно может быть записано в виде суммы дифференциалов формы M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 и при этом выполняется условие: частная производная M по y равна частной производной N по x.

Давай проверим каждое уравнение:

1. Для уравнения:

   • M(x, y) = x^2 + xy, N(x, y) = y^2 - x
   • Частные производные: ∂M/∂y = x и ∂N/∂x = -1
   • Не равны, значит, не полное.

2. Для уравнения:

   • M(x, y) = y^2, N(x, y) = 2xy + e^x
   • Частные производные: ∂M/∂y = 2y и ∂N/∂x = 2y + e^x
   • Не равны, значит, не полное.

3. Для уравнения:

   • M(x, y) = 1, N(x, y) = -1
   • Частные производные: ∂M/∂y = 0 и ∂N/∂x = 0
   • Равны, значит, полное.

4. Для уравнения:

   • M(x, y) = -4/x, N(x, y) = 1
   • Частные производные: ∂M/∂y = 0 и ∂N/∂x = 0
   • Равны, значит, полное.

Таким образом, уравнения 3 и 4 являются полными дифференциальными уравнениями.