Какие уравнения являются дифференциальными уравнениями в полных дифференциалах

Привет! Давай разберемся, какие из данных уравнений являются дифференциальными уравнениями в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах имеет вид M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, где частные производные M по y и N по x равны друг другу.

Рассмотрим каждое уравнение:

1. \( y x^2 dx - \( x (x^2 + y^2 - 3) dy = 0 \)

   M(x, y) = y x^2, N(x, y) = -x(x^2 + y^2 - 3)

   Частная производная M по y = x^2, частная производная N по x = -3x.

   Они не равны, значит уравнение не полное.

2. \( x (x^2 + y^2 + 1) dx + 2x^2 ydy = 0 \)

   M(x, y) = x(x^2 + y^2 + 1), N(x, y) = 2x^2 y

   Частная производная M по y = 2xy, частная производная N по x = 4xy.

   Они не равны, значит уравнение не полное.

3. \( (y^2 - x^2) dx + (x^2 + y^2) dy = 0 \)

   M(x, y) = y^2 - x^2, N(x, y) = x^2 + y^2

   Частная производная M по y = 2y, частная производная N по x = 2x.

   Они не равны, значит уравнение не полное.

4. \( (x\sqrt y + y) dx - x (\frac{1}{2\sqrt y} + 1)dy = 0 \)

   M(x, y) = x√y + y, N(x, y) = -x(1/2√y + 1)

   Частная производная M по y = x/2√y + 1, частная производная N по x = -1/2√y - 1

   Они не равны, значит уравнение не полное.

5. \( (e^{x/y} + y) dx - \frac{x}{y^2} e^{x/y} dy = 0 \)

   M(x, y) = e^{x/y} + y, N(x, y) = -(x/y^2) e^{x/y}

   Частная производная M по y = -x/y^2 e^{x/y} + 1, частная производная N по x = 1/y e^{x/y}

   Они не равны, значит уравнение не полное.

Ответ: Все приведенные уравнения не являются уравнениями в полных дифференциалах.