В начале на доске написано число 999999999999. За одну операцию число на доске заменяют на его сумму цифр, увеличенную на 2. Какое число будет на доске через 9000001 операцию?
Чтобы решить эту задачу, давайте разберёмся, как ведёт себя число при проведении операции.
Начальное число на доске: 999999999999. Оно состоит из 12 девяток.
Сумма цифр числа 999999999999: Сумма всех девяток равна \(9 \times 12 = 108\).
Применение операции: После первой операции заменяем число на его сумму цифр, увеличенную на 2: \[ 108 + 2 = 110 \] Теперь на доске стоит 110.
Следующая операция: Для числа 110: \[ 1 + 1 + 0 = 2 \quad \Rightarrow \quad 2 + 2 = 4 \] На доске теперь 4.
Последующие операции: Теперь, начиная с 4, сумма цифр равна 4: \[ 4 + 2 = 6 \] Следующая операция: \[ 6 + 2 = 8 \] Затем: \[ 8 + 2 = 10 \] Дальше: \[ 1 + 0 = 1 \quad \Rightarrow \quad 1 + 2 = 3 \] Следующая операция: \[ 3 + 2 = 5 \] Затем: \[ 5 + 2 = 7 \] Далее: \[ 7 + 2 = 9 \] И, наконец: \[ 9 + 2 = 11 \quad \Rightarrow \quad 1 + 1 = 2 \quad \Rightarrow \quad 2 + 2 = 4 \]
Теперь мы видим, что после перехода с 4 процесс начинает повторяться циклом: 4 → 6 → 8 → 10 → 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 2 → 4.
Таким образом, цикл состоит из 9 шагов. Чтобы узнать, какое число будет на доске после 9000001 операций, нужно найти, на каком шаге цикла мы окажемся.
- Начинаем с 1-й операции, которая привела к 110. После этого все следующие 9000000 операций можно рассматривать в контексте цикла из 9 шагов.
- Находим остаток от деления 9000000 на 9: \[ 9000000 \mod 9 = 0 \] Это означает, что через 9000000 операций мы вернемся к началу цикла, то есть к 4.
Так как к 9000001 операции добавляется ещё одна, мы смотрим, что будет после 4:
- После 4 идёт 6, а значит, после 9000001 операции на доске будет число 6.
Ответ: через 9000001 операцию на доске будет число 6.
