найти скорость и ускорение y=1/2•x3+1/6x2+0,5x,если x=-2
Чтобы найти скорость и ускорение функции \( y = \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{6}x^2 + 0,5x \) в точке \( x = -2 \), нам нужно сначала найти производные функции.
Находим первую производную \( y' \) (это скорость): \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{6}x^2 + 0,5x \right) \] Применяя правило дифференцирования, получаем: \[ y' = \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 0,5 \]
Теперь подставим \( x = -2 \) в первую производную: \[ y'(-2) = \frac{3}{2}(-2)^2 + \frac{1}{3}(-2) + 0,5 \] \[ y'(-2) = \frac{3}{2} \cdot 4 - \frac{2}{3} + 0,5 \] \[ = 6 - \frac{2}{3} + 0,5 \] Сложим \( 6 \) и \( 0,5 \): \[ 6 + 0,5 = 6,5 \] Преобразуем \( 6,5 \) в дробь: \[ 6,5 = \frac{13}{2} \] Теперь вычтем \( \frac{2}{3} \): \[ \frac{13}{2} - \frac{2}{3} \] Найдем общий знаменатель, который равен \( 6 \): \[ \frac{13 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{39}{6} - \frac{4}{6} = \frac{35}{6} \]
Таким образом, скорость (первая производная) в точке \( x = -2 \) равна \( \frac{35}{6} \).
Теперь находим вторую производную \( y'' \) (это ускорение): \[ y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 0,5 \right) \] \[ y'' = 3x + \frac{1}{3} \]
Подставим \( x = -2 \) во вторую производную: \[ y''(-2) = 3(-2) + \frac{1}{3} \] \[ = -6 + \frac{1}{3} \] Преобразуем \( -6 \) в дробь: \[ -6 = -\frac{18}{3} \] Теперь вычтем \( \frac{1}{3} \): \[ -\frac{18}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{17}{3} \]
Итак, ускорение (вторая производная) в точке \( x = -2 \) равно \( -\frac{17}{3} \).
Ответ: Скорость в точке \( x = -2 \) составляет \( \frac{35}{6} \), а ускорение \( -\frac{17}{3} \).
