стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Найти вероятность, что стрелку потребуется не более трех выстрелов.
Для решения данной задачи можно использовать распределение геометрической вероятности. Вероятность успеха (попадания в цель) равна \( p = 0,6 \), а вероятность неудачи (промаха) равна \( q = 1 - p = 0,4 \).
Нам нужно найти вероятность того, что стрелку потребуется не более трех выстрелов для первого попадания. То есть вероятность того, что стрелок попадёт в цель на первом, втором или третьем выстреле.
Вероятность того, что стрелок попадет в цель на \( k \)-ом выстреле (первая попытка успеха на \( k \)-ом выстреле) рассчитывается по формуле:
\[ P(X = k) = q^{k-1} \cdot p \]
где \( q = 0,4 \), и мы ищем \( P(X \leq 3) \), что равно:
\[ P(X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \]
Теперь посчитаем каждое из этих значений:
Для \( k = 1 \): \[ P(X = 1) = p = 0,6 \]
Для \( k = 2 \): \[ P(X = 2) = q^{1} \cdot p = 0,4 \cdot 0,6 = 0,24 \]
Для \( k = 3 \): \[ P(X = 3) = q^{2} \cdot p = (0,4)^{2} \cdot 0,6 = 0,16 \cdot 0,6 = 0,096 \]
Теперь складываем все вероятности:
\[ P(X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,6 + 0,24 + 0,096 \]
\[ P(X \leq 3) = 0,936 \]
Таким образом, вероятность того, что стрелку потребуется не более трех выстрелов, составляет \( 0,936 \) или \( 93,6\% \).
