Найдите значение выражения 3 cos(π - β) + sin(π/2 + β) / cos(β + 3π).

Чтобы найти значение выражения \( 3 \cos(\pi - \beta) + \frac{\sin(\frac{\pi}{2} + \beta)}{\cos(\beta + 3\pi)} \), давайте используем тригонометрические идентичности.

1. Начнем с преобразования \( \cos(\pi - \beta) \): \[ \cos(\pi - \beta) = -\cos(\beta) \] Это означает, что: \[ 3 \cos(\pi - \beta) = 3(-\cos(\beta)) = -3 \cos(\beta) \]

2. Теперь рассмотрим \( \sin\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) \): \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right) = \cos(\beta) \]

3. Далее, \( \cos(\beta + 3\pi) \) можно выразить как: \[ \cos(\beta + 3\pi) = \cos(\beta) \quad (\text{так как } \cos \text{ имеет период } 2\pi) \]

Теперь подставим все эти преобразования в исходное выражение: \[ 3 \cos(\pi - \beta) + \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right)}{\cos(\beta + 3\pi)} = -3 \cos(\beta) + \frac{\cos(\beta)}{\cos(\beta)} \]

Во втором члене, если \(\cos(\beta) \neq 0\), мы можем упростить: \[ \frac{\cos(\beta)}{\cos(\beta)} = 1 \]

Теперь у нас получается: \[ -3 \cos(\beta) + 1 \]

В итоге, мы имеем: \[ 1 - 3 \cos(\beta) \]

Таким образом, значение выражения \( 3 \cos(\pi - \beta) + \frac{\sin(\frac{\pi}{2} + \beta)}{\cos(\beta + 3\pi)} \) равно \( 1 - 3 \cos(\beta) \).