Разложи на множители: -9а³+12а²-4а

Чтобы разложить выражение \(-9a^3 + 12a^2 - 4a\) на множители, начнем с того, что можно вынести общий множитель из всех членов.

Первым шагом мы заметим, что каждый член содержит переменную \(a\). Также определим наибольший общий множитель (НОД) чисел \(-9\), \(12\) и \(-4\). НОД этих чисел равен \(1\) (по модулю \(1\)), поэтому можно вынести \(a\) как общий множитель:

\[ -9a^3 + 12a^2 - 4a = a(-9a^2 + 12a - 4). \]

Теперь нам нужно разложить квадратный трехчлен \(-9a^2 + 12a - 4\) на множители. Для этого можем использовать метод выделения полного квадрата или формулу для разложения квадратного трехчлена.

Посмотрим на дискриминант \(D\) для квадратного уравнения \(Ax^2 + Bx + C = 0\), где \(A = -9\), \(B = 12\), \(C = -4\):

\[ D = B^2 - 4AC = 12^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-4) = 144 - 144 = 0. \]

Поскольку дискриминант равен \(0\), это означает, что уравнение имеет один корень, что позволяет выделить полный квадрат. Находим корень:

\[ x = -\frac{B}{2A} = -\frac{12}{2 \cdot (-9)} = \frac{2}{3}. \]

Теперь выразим квадрат, который соответствует этому корню:

\[ -9a^2 + 12a - 4 = -9\left(a - \frac{2}{3}\right)^2. \]

Итак, мы можем подставить это обратно в наше разложение:

\[ -9a^3 + 12a^2 - 4a = a \cdot -9\left(a - \frac{2}{3}\right)^2. \]

Или проще записать:

\[ -9a^3 + 12a^2 - 4a = -9a\left(a - \frac{2}{3}\right)^2. \]

Таким образом, разложение на множители будет:

\[ -9a\left(a - \frac{2}{3}\right)^2. \]

Если нужны дополнительные пояснения по этой теме или дальнейшие примеры, не стесняйтесь спрашивать!