Реши 558

Чтобы решить задачу 558, давай разберемся вместе. Нам нужно доказать, что если сумма двух непрерывных функций \( f \) и \( g \) равна нулю, то каждая из них является нулевой функцией.

1. Нам дано, что \( f(x) + g(x) = 0 \) для всех \( x \).
2. Из этого следует, что \( g(x) = -f(x) \).

Теперь важно заметить, что если \( f(x) \) и \( g(x) \) непрерывны, то \( -f(x) \) тоже будет непрерывной.

3. Если \( f(x) \neq 0 \) для какого-то \( x \), то \( g(x) \) должна быть равна \(-f(x)\), что нарушает условие, что сумма равна нулю для всех \( x \).
4. Следовательно, \( f(x) = 0 \) и \( g(x) = 0 \) должны быть равны нулю для всех \( x \).

Таким образом, доказано, что обе функции равны нулю.