Найдите промежутки возрастания убывания точки максимума и минимума функции: f (x) = 4 cos 3x

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции \( f(x) = 4 \cos(3x) \), а также точки максимума и минимума, нужно следовать определенным шагам.

1. Найдите производную функции \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4 \cos(3x)) = -12 \sin(3x) \]

2. Определите критические точки, приравняв производную к нулю: \[ -12 \sin(3x) = 0 \] Это уравнение равно нулю, когда \( \sin(3x) = 0 \). Находится, что \( 3x = n\pi \), где \( n \) — целое число. Следовательно: \[ x = \frac{n\pi}{3} \]

3. Исследуйте знак производной \( f'(x) \) на промежутках, определяемых критическими точками. Критические точки образуют промежутки: \[ \left(-\infty, \frac{0\pi}{3}\right), \left(\frac{0\pi}{3}, \frac{1\pi}{3}\right), \left(\frac{1\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right), \text{ и так далее.} \]

4. Проверьте знак производной в каждом промежутке:

   • На промежутке \( \left(-\infty, \frac{0\pi}{3}\right) \), например, выберите \( x = -1 \): \[ f'(-1) = -12 \sin(-3) \text{ (знак положителен)} \]
   • На промежутке \( \left(\frac{0\pi}{3}, \frac{1\pi}{3}\right) \), выберите \( x = \frac{\pi}{6} \): \[ f'(\frac{\pi}{6}) = -12 \sin(\frac{\pi}{2}) \text{ (знак отрицателен)} \]
   • На промежутке \( \left(\frac{1\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right) \), выберите \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ f'(\frac{\pi}{2}) = -12 \sin(\frac{3\pi}{2}) \text{ (знак положителен)} \]

5. Ставим всё вместе:

   • Функция возрастает на промежутках \( \left(-\infty, \frac{0\pi}{3}\right) \) и \( \left(\frac{1\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right) \).
   • Функция убывает на промежутке \( \left(\frac{0\pi}{3}, \frac{1\pi}{3}\right) \).

6. Определить точки максимума и минимума:

   • В точке \( x = \frac{0\pi}{3} \) — это точка максимума.
   • В точке \( x = \frac{1\pi}{3} \) — это точка минимума.

Таким образом, вы определили промежутки возрастания и убывания функции \( f(x) = 4 \cos(3x) \), а также точки максимума и минимума.