2. Скорость прямолинейно движущегося тела v = (6t -t2) м/с. Вычислить путь, пройденный телом за первые 5 сек.
Чтобы найти путь, пройденный телом за первые 5 секунд, нужно использовать формулу для расстояния, которая основывается на скорости тела.
Скорость тела задается уравнением: \[ v(t) = 6t - t^2 \]
Чтобы найти путь, необходимо интегрировать скорость по времени. Расстояние \( S \) можно вычислить следующим образом: \[ S = \int_{0}^{5} v(t) \, dt = \int_{0}^{5} (6t - t^2) \, dt \]
Рассмотрим интеграл:
- Интеграл от \( 6t \) равен \( 3t^2 \).
- Интеграл от \( -t^2 \) равен \( -\frac{t^3}{3} \).
Теперь вычислим интеграл: \[ S = \left[ 3t^2 - \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{5} \]
Подставляем пределы: \[ S = \left( 3(5^2) - \frac{(5^3)}{3} \right) - \left( 3(0^2) - \frac{(0^3)}{3} \right) \] \[ S = \left( 3(25) - \frac{125}{3} \right) \] \[ S = 75 - \frac{125}{3} \]
Теперь нужно привести к общему знаменателю: \[ S = \frac{225}{3} - \frac{125}{3} = \frac{100}{3} \]
Таким образом, путь, пройденный телом за первые 5 секунд, составляет: \[ S \approx 33.33 \, \text{м} \]
Поскольку необходимо представить ответ в точности, можно записать: \[ S = \frac{100}{3} \, \text{м} \]
Ответ: путь, пройденный телом за первые 5 секунд, составляет \(\frac{100}{3}\) метра.
