Задача. Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2. Определить вероятность того, что в партии из десяти выпущенных на данном станке деталей ровно k будут без брака. Решить задачу для k = 1, 10.

Question 1

Задача Задача №2459252

А

Аноним

10 декабря 2024 10:50 · публичный вопрос

А

Аноним 10 декабря 2024 10:50

Задача. Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2. Определить вероятность того, что в партии из десяти выпущенных на данном станке деталей ровно k будут без брака. Решить задачу для k = 1, 10.

Answer

Для решения задачи о вероятности выпуска безбракованных изделий из партии деталей, можно воспользоваться биномиальным распределением. В данном случае, вероятность выпуска бракованного изделия (некачественного) составляет 0,2, что означает, что вероятность выпуска безбракованного изделия равна 0,8 (1 - 0,2).

Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k} \]

где:

\( P(X = k) \) — вероятность того, что ровно \( k \) изделий окажутся без брака;
\( n \) — общее количество изделий (в данном случае 10);
\( k \) — количество безбракованных изделий, для которого мы ищем вероятность;
\( p \) — вероятность выпуска безбракованного изделия (0,8);
\( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Теперь давайте рассчитаем вероятность для \( k = 1 \) и \( k = 10 \).

1. Для \( k = 1 \):

\( n = 10, p = 0,8, k = 1 \)

Вычислим биномиальный коэффициент: \[ C(10, 1) = \frac{10!}{1!(10-1)!} = \frac{10 \cdot 9!}{1 \cdot 9!} = 10 \]
Теперь подставим значения в формулу: \[ P(X = 1) = C(10, 1) \cdot (0,8)^1 \cdot (0,2)^{10-1} \] \[ P(X = 1) = 10 \cdot 0,8 \cdot (0,2)^9 \] \[ P(X = 1) = 10 \cdot 0,8 \cdot 0,000512 = 10 \cdot 0,0004096 = 0,004096 \]

2. Для \( k = 10 \):

\( n = 10, p = 0,8, k = 10 \)

Вычислим биномиальный коэффициент: \[ C(10, 10) = 1 \]
Теперь подставим значения в формулу: \[ P(X = 10) = C(10, 10) \cdot (0,8)^{10} \cdot (0,2)^{0} \] \[ P(X = 10) = 1 \cdot (0,8)^{10} \cdot 1 \] \[ P(X = 10) = (0,8)^{10} = 0,1073741824 \]

Ответы

Вероятность того, что в партии из десяти выпущенных изделий ровно 1 будет без брака: \( P(X = 1) \approx 0,0041 \) (или 0,41%).
Вероятность того, что все 10 изделий будут без брака: \( P(X = 10) \approx 0,1074 \) (или 10,74%).

Если возникнут дополнительные вопросы или понадобится помощь с другими задачами, я с удовольствием помогу!

Question 2

Задача. Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2. Определить вероятность того, что в партии из десяти выпущенных на данном станке деталей ровно k будут без брака. Решить задачу для k = 1, 10.

Answer

Для решения задачи о вероятности выпуска безбракованных изделий из партии деталей, можно воспользоваться биномиальным распределением. В данном случае, вероятность выпуска бракованного изделия (некачественного) составляет 0,2, что означает, что вероятность выпуска безбракованного изделия равна 0,8 (1 - 0,2). Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит следующим образом: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k} \] где: - \( P(X = k) \) — вероятность того, что ровно \( k \) изделий окажутся без брака; - \( n \) — общее количество изделий (в данном случае 10); - \( k \) — количество безбракованных изделий, для которого мы ищем вероятность; - \( p \) — вероятность выпуска безбракованного изделия (0,8); - \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \). Теперь давайте рассчитаем вероятность для \( k = 1 \) и \( k = 10 \). ### 1. Для \( k = 1 \): \( n = 10, p = 0,8, k = 1 \) 1. Вычислим биномиальный коэффициент: \[ C(10, 1) = \frac{10!}{1!(10-1)!} = \frac{10 \cdot 9!}{1 \cdot 9!} = 10 \] 2. Теперь подставим значения в формулу: \[ P(X = 1) = C(10, 1) \cdot (0,8)^1 \cdot (0,2)^{10-1} \] \[ P(X = 1) = 10 \cdot 0,8 \cdot (0,2)^9 \] \[ P(X = 1) = 10 \cdot 0,8 \cdot 0,000512 = 10 \cdot 0,0004096 = 0,004096 \] ### 2. Для \( k = 10 \): \( n = 10, p = 0,8, k = 10 \) 1. Вычислим биномиальный коэффициент: \[ C(10, 10) = 1 \] 2. Теперь подставим значения в формулу: \[ P(X = 10) = C(10, 10) \cdot (0,8)^{10} \cdot (0,2)^{0} \] \[ P(X = 10) = 1 \cdot (0,8)^{10} \cdot 1 \] \[ P(X = 10) = (0,8)^{10} = 0,1073741824 \] ### Ответы - Вероятность того, что в партии из десяти выпущенных изделий ровно 1 будет без брака: \( P(X = 1) \approx 0,0041 \) (или 0,41%). - Вероятность того, что все 10 изделий будут без брака: \( P(X = 10) \approx 0,1074 \) (или 10,74%). Если возникнут дополнительные вопросы или понадобится помощь с другими задачами, я с удовольствием помогу!