В равнобедренном треугольнике основание равно 10см, а боковая сторона равна 13см. найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Чтобы найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, можно воспользоваться формулой:
\[ r = \frac{S}{p} \]
где \( r \) - радиус вписанной окружности, \( S \) - площадь треугольника, а \( p \) - полупериметр треугольника.
- Находим полупериметр \( p \):
Полупериметр \( p \) равен половине периметра треугольника. В нашем случае:
- Две боковые стороны равны 13 см.
- Основание равно 10 см.
Периметр \( P \):
\[ P = 13 + 13 + 10 = 36 \, \text{см} \]
Теперь находим полупериметр:
\[ p = \frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, \text{см} \]
- Находим площадь \( S \):
Площадь равнобедренного треугольника можно найти через основание и высоту. Сначала найдем высоту, проведенную из верхней вершины к основанию.
Высоту можно найти с помощью теоремы Пифагора. Мы можем разделить основание на две равные части, чтобы получить два прямоугольных треугольника:
- Половина основания: \( \frac{10}{2} = 5 \, \text{см} \)
- Боковая сторона: \( 13 \, \text{см} \)
Обозначим высоту как \( h \). Тогда по теореме Пифагора имеем:
\[ h^2 + 5^2 = 13^2 \]
Отсюда
\[ h^2 + 25 = 169 \] \[ h^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ h = \sqrt{144} = 12 \, \text{см} \]
Теперь можем найти площадь \( S \) треугольника:
\[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60 \, \text{см}^2 \]
- Находим радиус \( r \):
Теперь подставим значения в формулу радиуса:
\[ r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \, \text{см} \]
Таким образом, радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника составляет \( \frac{10}{3} \) см, или примерно \( 3.33 \, \text{см} \).
