2. 3 ^ (x + 2) - 2 * 3 ^ x <= 7 3. 25 ^ x - 5 ^ (x + 1) * tau * 4 < 0 6 ^ x < 1/36 4. (3/8) ^ ((x + 5)/(x ^ 2 - 5)) <= 1

Question 1

Задача Задача №2459635

А

Аноним

10 декабря 2024 11:26 · публичный вопрос

А

Аноним 10 декабря 2024 11:26

2. 3 ^ (x + 2) - 2 * 3 ^ x <= 7 3. 25 ^ x - 5 ^ (x + 1) * tau * 4 < 0 6 ^ x < 1/36 4. (3/8) ^ ((x + 5)/(x ^ 2 - 5)) <= 1

Answer

Конечно! Давайте разберём каждое из ваших неравенств по порядку.

Неравенство: \( 3^{(x + 2)} - 2 \cdot 3^x \leq 7 \)

Мы можем переписать \( 3^{(x+2)} \) как \( 3^2 \cdot 3^x = 9 \cdot 3^x \). Тогда неравенство принимает вид: \[ 9 \cdot 3^x - 2 \cdot 3^x \leq 7 \] Объединим слагаемые: \[ (9 - 2) \cdot 3^x \leq 7 \] \[ 7 \cdot 3^x \leq 7 \] Разделим обе стороны на 7 (заметьте, что мы можем это сделать, так как 7 положительно): \[ 3^x \leq 1 \] Таким образом: \[ x \leq 0 \]
Неравенство: \( 25^x - 5^{(x + 1)} \cdot \tau \cdot 4 < 0 \)

Обратите внимание, что \( 25^x = (5^2)^x = 5^{2x} \). Таким образом, можно записать неравенство, как: \[ 5^{2x} - 4 \cdot 5^{(x + 1)} \cdot \tau < 0 \] Упростим: \[ 5^{2x} - 4\tau \cdot 5^{x} < 0 \] Вынесем \( 5^{x} \): \[ 5^{x} \left( 5^{x} - 4\tau \right) < 0 \] Это означает, что одно из множителей должно быть отрицательным. Поскольку \( 5^x \) всегда положительно, нам нужно решить: \[ 5^x - 4\tau < 0 \] То есть: \[ 5^x < 4\tau \] Логарифмируя: \[ x < \log_5(4\tau) \]
Неравенство: \( 6^x < \frac{1}{36} \)

Мы можем переписать \(\frac{1}{36}\) как \(6^{-2}\). Таким образом: \[ 6^x < 6^{-2} \] Так как основание положительно, можно приравнять степени: \[ x < -2 \]
Неравенство: \( \left(\frac{3}{8}\right)^{\frac{x + 5}{x^2 - 5}} \leq 1 \)

Напомним, что любое число, меньшее 1 (в данном случае, \(\frac{3}{8}\)), в степени больше или равной нулю будет больше или равно 1. Условие: \[ \frac{x + 5}{x^2 - 5} \leq 0 \] Теперь находим значения промежутков. Неравенство выполняется, когда \(x + 5\) и \(x^2 - 5\) имеют разные знаки.

Первое: \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\). Второе, корни уравнения \(x^2 - 5 = 0 \Rightarrow x = \sqrt{5}\) и \(x = -\sqrt{5}\).

Далее проводим анализ знаков на интервалах \((-∞, -5)\), \((-5, -\sqrt{5})\), \((- \sqrt{5}, \sqrt{5})\) и \((\sqrt{5}, +\infty)\).

В итоге, составим ответ из промежутков, где знак положительный.

Если что-то неясно, можно разобрать подробнее каждое из этих неравенств!

Question 2

2. 3 ^ (x + 2) - 2 * 3 ^ x <= 7 3. 25 ^ x - 5 ^ (x + 1) * tau * 4 < 0 6 ^ x < 1/36 4. (3/8) ^ ((x + 5)/(x ^ 2 - 5)) <= 1

Answer

Конечно! Давайте разберём каждое из ваших неравенств по порядку. 1. **Неравенство**: \( 3^{(x + 2)} - 2 \cdot 3^x \leq 7 \) Мы можем переписать \( 3^{(x+2)} \) как \( 3^2 \cdot 3^x = 9 \cdot 3^x \). Тогда неравенство принимает вид: \[ 9 \cdot 3^x - 2 \cdot 3^x \leq 7 \] Объединим слагаемые: \[ (9 - 2) \cdot 3^x \leq 7 \] \[ 7 \cdot 3^x \leq 7 \] Разделим обе стороны на 7 (заметьте, что мы можем это сделать, так как 7 положительно): \[ 3^x \leq 1 \] Таким образом: \[ x \leq 0 \] 2. **Неравенство**: \( 25^x - 5^{(x + 1)} \cdot \tau \cdot 4 < 0 \) Обратите внимание, что \( 25^x = (5^2)^x = 5^{2x} \). Таким образом, можно записать неравенство, как: \[ 5^{2x} - 4 \cdot 5^{(x + 1)} \cdot \tau < 0 \] Упростим: \[ 5^{2x} - 4\tau \cdot 5^{x} < 0 \] Вынесем \( 5^{x} \): \[ 5^{x} \left( 5^{x} - 4\tau \right) < 0 \] Это означает, что одно из множителей должно быть отрицательным. Поскольку \( 5^x \) всегда положительно, нам нужно решить: \[ 5^x - 4\tau < 0 \] То есть: \[ 5^x < 4\tau \] Логарифмируя: \[ x < \log_5(4\tau) \] 3. **Неравенство**: \( 6^x < \frac{1}{36} \) Мы можем переписать \(\frac{1}{36}\) как \(6^{-2}\). Таким образом: \[ 6^x < 6^{-2} \] Так как основание положительно, можно приравнять степени: \[ x < -2 \] 4. **Неравенство**: \( \left(\frac{3}{8}\right)^{\frac{x + 5}{x^2 - 5}} \leq 1 \) Напомним, что любое число, меньшее 1 (в данном случае, \(\frac{3}{8}\)), в степени больше или равной нулю будет больше или равно 1. Условие: \[ \frac{x + 5}{x^2 - 5} \leq 0 \] Теперь находим значения промежутков. Неравенство выполняется, когда \(x + 5\) и \(x^2 - 5\) имеют разные знаки. Первое: \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\). Второе, корни уравнения \(x^2 - 5 = 0 \Rightarrow x = \sqrt{5}\) и \(x = -\sqrt{5}\). Далее проводим анализ знаков на интервалах \((-∞, -5)\), \((-5, -\sqrt{5})\), \((- \sqrt{5}, \sqrt{5})\) и \((\sqrt{5}, +\infty)\). В итоге, составим ответ из промежутков, где знак положительный. Если что-то неясно, можно разобрать подробнее каждое из этих неравенств!