сокращение дроби √3-3/√5-√15

Для сокращения дроби \(\frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{5} - \sqrt{15}}\) можно следовать нескольким шагам.

Начнем с упрощения числителя и знаменателя отдельно.

Шаг 1: Приведение к общему виду.

Поскольку у нас в знаменателе находится выражение с корнями, попробуем умножить и числитель, и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя. Сопряженное к \(\sqrt{5} - \sqrt{15}\) будет \(\sqrt{5} + \sqrt{15}\).

Шаг 2: Умножение числителя и знаменателя на сопряженное.

Умножим:

\[ \frac{(\sqrt{3} - 3)(\sqrt{5} + \sqrt{15})}{(\sqrt{5} - \sqrt{15})(\sqrt{5} + \sqrt{15})} \]

Шаг 3: Вычисление знаменателя.

Знаменатель будет:

\((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{15})^2 = 5 - 15 = -10\).

Шаг 4: Вычисление числителя.

Для числителя:

\((\sqrt{3} - 3)(\sqrt{5} + \sqrt{15}) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{15} - 3 \cdot \sqrt{5} - 3 \cdot \sqrt{15}\).

Это можно записать как:

\(\sqrt{15} + 3\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 3\sqrt{15} = \sqrt{15} - 3\sqrt{15} = -2\sqrt{15}\).

Шаг 5: Объединение результатов.

Сейчас у нас есть:

\[ \frac{-2\sqrt{15}}{-10}. \]

Поскольку оба выражения отрицательные, мы можем их сократить:

\[ \frac{2\sqrt{15}}{10} = \frac{\sqrt{15}}{5}. \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \frac{\sqrt{15}}{5}. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!