В вашем предложении "по реке и кустам начинает шуметь редкий тёплый дождь" действительно присутствует деепричастный оборот. Деепричастный оборот обычно состоит из деепричастия и зависимых слов, которые уточняют, при каком условии или обстоятельстве происходит действие.
В данном случае, чтобы обозначить деепричастный оборот, можно выделить часть, которая отвечает на вопрос "что делая?" или "при каком условии?".
Можно переформулировать вашу фразу, используя деепричастный оборот: "Шумя, редкий тёплый дождь начинает идти по реке и кустам". Здесь "шумя" является деепричастием, и оно передаёт действие, которое сопровождает основное действие "начинает идти".
Если у вас есть дополнительные вопросы о деепричастных оборотах или других аспектах русского языка, не стесняйтесь спрашивать!