Докажите, что значение выражения 1/(3+√15) + 1/(3–√15) есть число рациональное.

Давайте докажем, что значение выражения \( \frac{1}{3+\sqrt{15}} + \frac{1}{3-\sqrt{15}} \) является рациональным числом.

Сначала объединим два дроби в одно выражение. Для этого найдём общий знаменатель. Общий знаменатель для дробей \( 3+\sqrt{15} \) и \( 3-\sqrt{15} \) будет их произведение:

\[ (3+\sqrt{15})(3-\sqrt{15}) = 3^2 - (\sqrt{15})^2 = 9 - 15 = -6. \]

Теперь выразим сумму дробей:

\[ \frac{1}{3+\sqrt{15}} + \frac{1}{3-\sqrt{15}} = \frac{(3-\sqrt{15}) + (3+\sqrt{15})}{(3+\sqrt{15})(3-\sqrt{15})} = \frac{(3 - \sqrt{15}) + (3 + \sqrt{15})}{-6}. \]

Упростим числитель:

\[ 3 - \sqrt{15} + 3 + \sqrt{15} = 3 + 3 = 6. \]

Таким образом, мы имеем:

\[ \frac{6}{-6} = -1. \]

Поскольку -1 является целым числом, то оно также является рациональным числом. Таким образом, мы доказали, что значение выражения \( \frac{1}{3+\sqrt{15}} + \frac{1}{3-\sqrt{15}} \) — рационально.