монету бросают 8 раз. какова вероятность, что 4 раза выпадет «герб»?
Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой распределения Бернулли (или биномиальным распределением). Вероятность того, что при \( n \) испытаниях событие происходит \( k \) раз, вычисляется по формуле:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, равный числу способов выбрать \( k \) успешных испытаний из \( n \) (\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)),
- \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (в нашем случае это вероятность выпадения «герба», равная \( 0.5 \)),
- \( n \) — общее число испытаний,
- \( k \) — число успехов.
В данной задаче:
- \( n = 8 \),
- \( k = 4 \),
- \( p = 0.5 \).
Подставим значения в формулу:
Найдем биномиальный коэффициент \( \binom{8}{4} \): \[ \binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70 \]
Подставим всё в формулу: \[ P(X = 4) = \binom{8}{4} (0.5)^4 (0.5)^{8-4} = 70 \times (0.5)^4 \times (0.5)^4 = 70 \times (0.5)^8 \] \[ = 70 \times \frac{1}{256} = \frac{70}{256} = \frac{35}{128} \]
Таким образом, вероятность того, что 4 раза выпадет «герб», равна \( \frac{35}{128} \) или примерно \( 0.2734 \), что составляет около 27.34%.
