В предложении "около тысячи лет греческий язык был государственным языком византийской империи" грамматическая основа состоит из подлежащего и сказуемого.
Подлежащее: "греческий язык".
Сказуемое: "был государственным языком".
Таким образом, основа предложения — это сочетание "греческий язык был". Остальная часть предложения ("около тысячи лет" и "византийской империи") служит для уточнения времени и места, но не влияет на грамматическую основу. Если у вас есть дополнительные вопросы по теме, буду рад помочь!