В классе учатся 21 человек, из которых 2 - это девочки. Они случайным образом садятся за круглый стол. Найдите вероятность, что девочки будут сидеть на соседних стульях

Чтобы найти вероятность того, что две девочки будут сидеть на соседних стульях за круглым столом, начнем с общего количества способов рассадить учеников, а затем определим, сколько из этих способов соответствует условиям задачи.

1. Общее количество способов рассадить 21 человека за круглый стол: Рассаживание людей за круглым столом отличается от линейного, так как круг имеет симметрию. Для \( n \) человек количество способов равно \( (n-1)! \). В нашем случае \( n = 21 \), поэтому общее количество способов:

   \[ (21-1)! = 20! \]

2. Количество способов, когда девочки сидят рядом: Чтобы учесть случаи, когда девочки сидят рядом, можно рассмотреть их как одно "объединенное" лицо или группу. Таким образом, у нас будет 20 "персонажей": 19 мальчиков и 1 группа девочек. Теперь мы можем рассадить эти 20 персонажей за кругом:

   \[ (20-1)! = 19! \]

   Однако в объединенной группе девочек они могут сидеть в любом порядке (девочка 1, девочка 2 или девочка 2, девочка 1), т.е. для каждой расстановки девочек есть 2 варианта. Таким образом, общее количество способов, когда девочки сидят рядом:

   \[ 19! \times 2 \]

3. Вероятность того, что девочки будут сидеть рядом: Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

   \[ P = \frac{19! \times 2}{20!} \]

   Упрощая это выражение, мы заметим, что \( 20! = 20 \times 19! \), и подставим это в формулу:

   \[ P = \frac{19! \times 2}{20 \times 19!} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \]

Таким образом, вероятность того, что две девочки будут сидеть на соседних стульях, составляет \( \frac{1}{10} \) или 10%.