Для прямоугольного параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1, у которого АВ=2, АД=2, АА1=1. Найдите косинус угла между прямыми ДВ1 и ВВ1

Для нахождения косинуса угла между прямыми \( ДБ_1 \) и \( ВБ_1 \) в прямоугольном параллелепипеде \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), начнем с определения координат вершин.

1. Установим координаты вершин параллелепипеда:

   • \( A(0, 0, 0) \)
   • \( B(2, 0, 0) \)
   • \( C(2, 2, 0) \)
   • \( D(0, 2, 0) \)
   • \( A_1(0, 0, 1) \)
   • \( B_1(2, 0, 1) \)
   • \( C_1(2, 2, 1) \)
   • \( D_1(0, 2, 1) \)

2. Теперь найдём векторы \( \overrightarrow{DB_1} \) и \( \overrightarrow{VB_1} \):

   Вектор \( \overrightarrow{DB_1} = B_1 - D = (2, 0, 1) - (0, 2, 0) = (2, -2, 1) \)

   Вектор \( \overrightarrow{VB_1} = B_1 - B = (2, 0, 1) - (2, 0, 0) = (0, 0, 1) \)

3. Далее, найдем длины этих векторов:

   • Длина \( \overrightarrow{DB_1} \): \[ |\overrightarrow{DB_1}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \]

   • Длина \( \overrightarrow{VB_1} \): \[ |\overrightarrow{VB_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1 \]

4. Найдем скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{DB_1} \) и \( \overrightarrow{VB_1} \): \[ \overrightarrow{DB_1} \cdot \overrightarrow{VB_1} = (2) \cdot (0) + (-2) \cdot (0) + (1) \cdot (1) = 0 + 0 + 1 = 1 \]

5. Теперь используем формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{DB_1} \cdot \overrightarrow{VB_1}}{|\overrightarrow{DB_1}| \cdot |\overrightarrow{VB_1}|} \] Подставим найденные значения: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3} \]

Таким образом, косинус угла между прямыми \( ДБ_1 \) и \( ВБ_1 \) равен \( \frac{1}{3} \).