x³-81=0

Чтобы решить уравнение \(x^3 - 81 = 0\), начнём с того, что можем выразить \(x^3\):

\[ x^3 = 81 \]

Теперь нам нужно извлечь кубический корень из 81. Напомним, что:

\[ 81 = 3^4 \]

Это означает, что:

\[ x = \sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = 3^{\frac{4}{3}} \]

Однако, чтобы быть более точными, стоит записать это в виде:

\[ x = 3 \cdot \sqrt[3]{3} \quad \text{или} \quad x \approx 4.326 \]

Кроме того, при решении кубического уравнения следует учитывать, что кубическое уравнение имеет три корня. Используем формулу для нахождения комплексных корней, так как у нас есть один вещественный корень и два комплексных. Они могут быть найдены с помощью формулы:

\[ x_k = \sqrt[3]{81} \cdot \text{cis}\left(\frac{2k\pi}{3}\right) \quad (k = 0, 1, 2) \]

где \(\text{cis}(\theta) = \cos(\theta) + i\sin(\theta)\).

Таким образом, все три корня уравнения \(x^3 - 81 = 0\) могут быть записаны как:

1. \(x_1 = 3 \cdot \sqrt[3]{3}\)
2. \(x_2 = 3 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \text{cis}\left(\frac{2\pi}{3}\right)\)
3. \(x_3 = 3 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \text{cis}\left(\frac{4\pi}{3}\right)\)

Такое представление дает нам все корни уравнения. Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснить процесс более подробно, дайте знать!