A³-2a²-9a+18

Для того чтобы решить выражение \( a^3 - 2a^2 - 9a + 18 \), можно использовать метод факторизации, чтобы найти корни этого многочлена.

Сначала определим возможные рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные делители свободного члена (в данном случае 18) включают \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18 \).

Давайте попробуем подставить некоторые значения \( a \):

1. Подставим \( a = 2 \): \[ 2^3 - 2 \cdot 2^2 - 9 \cdot 2 + 18 = 8 - 8 - 18 + 18 = 0. \] Таким образом, \( a = 2 \) является корнем.

Теперь, чтобы упростить многочлен, мы можем разделить его на \( a - 2 \) с помощью деления многочленов.

При делении \( a^3 - 2a^2 - 9a + 18 \) на \( a - 2 \) получаем:

1. \( a^2 \) (первый член деления)
2. Умножаем и вычитаем: \[ (a^3 - 2a^2) - (a^2(a - 2)) = -9a + 18 + 2a^2 = -7a + 18. \]
3. Затем берём следующий член \( -7 \) и повторяем процедуру: \[ -7(a - 2) = -7a + 14. \]
4. Вычитанием находим остаток: \(-9a + 18 - (-7a + 14) = -2a + 4\).

Таким образом, можем записать: \[ a^3 - 2a^2 - 9a + 18 = (a - 2)(a^2 - 7a + 9). \]

Теперь необходимо решить квадратное уравнение \( a^2 - 7a + 9 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 - 36 = 13. \]

Корни будут: \[ a = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}. \]

Таким образом, полный набор корней уравнения:

1. \( a = 2 \)
2. \( a = \frac{7 + \sqrt{13}}{2} \)
3. \( a = \frac{7 - \sqrt{13}}{2} \)

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!