2х²-7=у² у+19=6х решите систему уравнений в целых числах

Чтобы решить данную систему уравнений в целых числах, начнем с того, что у нас есть два уравнения:

1. \(2x^2 - 7 = y^2\)
2. \(y + 19 = 6x\)

Сначала выразим \(y\) из второго уравнения:

\[ y = 6x - 19 \]

Теперь подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение:

\[ 2x^2 - 7 = (6x - 19)^2 \]

Раскроем квадрат в правой части:

\[ (6x - 19)^2 = 36x^2 - 228x + 361 \]

Теперь подставим это в первое уравнение:

\[ 2x^2 - 7 = 36x^2 - 228x + 361 \]

Переносим все в одну сторону:

\[ 2x^2 - 36x^2 + 228x - 7 - 361 = 0 \]

Упрощая, получаем:

\[ -34x^2 + 228x - 368 = 0 \]

Умножим на -1 для удобства:

\[ 34x^2 - 228x + 368 = 0 \]

Теперь упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 34:

\[ x^2 - \frac{228}{34}x + \frac{368}{34} = 0 \]

Приблизительно:

\[ x^2 - 6.70588x + 10.82353 = 0 \]

Теперь используем дискриминант для получения целых корней:

\[ D = b^2 - 4ac = \left(-\frac{228}{34}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{368}{34} \]

Числовые значения нужно посчитать:

\[ D = \left(\frac{228^2}{34^2}\right) - \frac{1472}{34} \]

Далее, необходимо получить корни. Это уравнение довольно сложное для поиска целых корней, но давайте попытаемся просмотреть возможные целые значения для \(x\) и \(y\).

Подставляя различные значения \(x\) в уравнение \(y = 6x - 19\), найдем значение \(y\):

1. \(x = 0\): \(y = 6(0) - 19 = -19\)
2. \(x = 1\): \(y = 6(1) - 19 = -13\)
3. \(x = 2\): \(y = 6(2) - 19 = -7\)
4. \(x = 3\): \(y = 6(3) - 19 = -1\)
5. \(x = 4\): \(y = 6(4) - 19 = 5\)
6. \(x = 5\): \(y = 6(5) - 19 = 11\)

Теперь подставим эти значения \(x\) и соответствующие \(y\) в уравнение \(2x^2 - 7 = y^2\) и проверим, выполняется ли равенство.

Проверяем:

1. Для \(x = 0\), \(y = -19\): \(2(0)^2 - 7 = -7\) и \((-19)^2 = 361\) — не подходит.
2. Для \(x = 1\), \(y = -13\): \(2(1)^2 - 7 = -5\) и \((-13)^2 = 169\) — не подходит.
3. Для \(x = 2\), \(y = -7\): \(2(2)^2 - 7 = 1\) и \((-7)^2 = 49\) — не подходит.
4. Для \(x = 3\), \(y = -1\): \(2(3)^2 - 7 = 11\) и \((-1)^2 = 1\) — не подходит.
5. Для \(x = 4\), \(y = 5\): \(2(4)^2 - 7 = 25\) и \(5^2 = 25\) — подходит!
6. Для \(x = 5\), \(y = 11\): \(2(5)^2 - 7 = 43\) и \(11^2 = 121\) — не подходит.

Таким образом, решение системы уравнений в целых числах: \(x = 4, y = 5\).

Ответ: \((x, y) = (4, 5)\).