Для прямоугольного параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1, у которого АВ=2, АД=2, АА1=1. Найдите косинус угла между плоскостями АСД1 и АВС1.

Чтобы найти косинус угла между плоскостями \(АСД_1\) и \(АВС_1\) прямоугольного параллелепипеда, необходимо сначала определить нормали к этим плоскостям.

1. Определим координаты вершин параллелепипеда:

   • \(A(0, 0, 0)\)
   • \(B(2, 0, 0)\)
   • \(C(2, 2, 0)\)
   • \(D(0, 2, 0)\)
   • \(A_1(0, 0, 1)\)
   • \(B_1(2, 0, 1)\)
   • \(C_1(2, 2, 1)\)
   • \(D_1(0, 2, 1)\)

2. Найдем векторы, лежащие в плоскостях:

   • Для плоскости \(АСД_1\):

     • Вектор \( \overrightarrow{AC} = C - A = (2, 2, 0) - (0, 0, 0) = (2, 2, 0) \)
     • Вектор \( \overrightarrow{AD_1} = D_1 - A = (0, 2, 1) - (0, 0, 0) = (0, 2, 1) \)

   • Для плоскости \(АВС_1\):

     • Вектор \( \overrightarrow{AB} = B - A = (2, 0, 0) - (0, 0, 0) = (2, 0, 0) \)
     • Вектор \( \overrightarrow{AC_1} = C_1 - A = (2, 2, 1) - (0, 0, 0) = (2, 2, 1) \)

3. Найдем нормали к плоскостям:

   • Для плоскости \(АСД_1\): \[ \vec{n_1} = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD_1} = (2, 2, 0) \times (0, 2, 1) \] \[ \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) \hat{i} - (2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \hat{j} + (2 \cdot 2 - 0 \cdot 0) \hat{k} = (2, -2, 4) \]

   • Для плоскости \(АВС_1\): \[ \vec{n_2} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC_1} = (2, 0, 0) \times (2, 2, 1) \] \[ \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 - 0 \cdot 2)\hat{i} - (2 \cdot 1 - 0 \cdot 2)\hat{j} + (2 \cdot 2 - 0 \cdot 0)\hat{k} = (0, -2, 4) \]

4. Вычислим косинус угла между нормалями:

   • Косинус угла между векторами \( \vec{n_1} \) и \( \vec{n_2} \) вычисляется по формуле: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \]

   • Сначала найдем скалярное произведение: \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2, -2, 4) \cdot (0, -2, 4) = (2 \cdot 0) + (-2)(-2) + (4 \cdot 4) = 0 + 4 + 16 = 20 \]

   • Теперь найдем длины векторов: \[ |\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \] \[ |\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

   • Подставим все эти значения в формулу для косинуса: \[ \cos \theta = \frac{20}{(2\sqrt{6})(2\sqrt{5})} = \frac{20}{4\sqrt{30}} = \frac{5}{\sqrt{30}} = \frac{5\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{6} \]

Таким образом, косинус угла между плоскостями \(АСД_1\) и \(АВС_1\) равен \( \frac{\sqrt{30}}{6} \).