Найди значения параметра б, при которых прямая у=б не имеет общих точек с графиком функции у=х-6/х²-6х +2

Рассмотрим уравнение прямой \( y = b \) и функцию \( y = \frac{x - 6}{x^2 - 6x + 2} \). Чтобы найти значения параметра \( b \), при которых прямая не имеет общих точек с графиком функции, нужно решить неравенство \( \frac{x - 6}{x^2 - 6x + 2} \neq b \).

Для начала упростим это неравенство:

\[ \frac{x - 6}{x^2 - 6x + 2} - b \neq 0 \]

Умножим обе стороны на \( x^2 - 6x + 2 \) (при условии, что знаменатель не равен нулю):

\[ x - 6 - b(x^2 - 6x + 2) \neq 0 \]

Попробуем переписать выражение:

\[ -bx^2 + (6b + 1)x + (-6 - 2b) \neq 0 \]

Это квадратное неравенство: \( -bx^2 + (6b + 1)x + (-6 - 2b) \neq 0 \).

Теперь определим, когда это квадратное уравнение не имеет реальных корней. Квадратное уравнение имеет два различных корня, если его дискриминант положителен, и не имеет действительных корней, если дискриминант отрицателен. Дискриминант квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле:

\[ D = B^2 - 4AC \]

В нашем случае:

• \( A = -b \)
• \( B = 6b + 1 \)
• \( C = -6 - 2b \)

Теперь подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

\[ D = (6b + 1)^2 - 4(-b)(-6 - 2b) \]

Упростим его:

\[ D = (6b + 1)^2 - 4b(6 + 2b) \] \[ D = (6b + 1)^2 - 24b - 8b^2 \] \[ D = 36b^2 + 12b + 1 - 24b - 8b^2 \] \[ D = 28b^2 - 12b + 1 \]

Чтобы прямая \( y = b \) не имела общих точек с графиком функции, необходимо, чтобы \( D < 0 \):

\[ 28b^2 - 12b + 1 < 0 \]

Теперь решим неравенство методом нахождения корней:

Для начала находим корни уравнения \( 28b^2 - 12b + 1 = 0 \) используя дискриминант:

\[ D^1 = (-12)^2 - 4 \cdot 28 \cdot 1 = 144 - 112 = 32 \]

Корни:

\[ b_1 = \frac{12 + \sqrt{32}}{2 \cdot 28} \quad \text{и} \quad b_2 = \frac{12 - \sqrt{32}}{2 \cdot 28} \]

Теперь можно найти интервалы, где это неравенство выполняется. Учитывая, что парабола открыта вверх (так как коэффициент при \( b^2 \) положителен), неравенство \( 28b^2 - 12b + 1 < 0 \) будет выполняться между корнями.

Таким образом, чтобы найти значения \( b \), при которых прямая не пересекает график функции, необходимо решить неравенство \( D < 0 \), а именно:

\[ b \in \left(b_2, b_1\right) \]

Это даст нам диапазон значений параметра \( b \). Теперь можно посчитать и окончательно записать ответ.