составьте квадратное уравнение корни которого в 3 раза меньше соответствующих корней уравнения 2x2-14x+9=0
Чтобы составить квадратное уравнение, корни которого в 3 раза меньше соответствующих корней уравнения \(2x^2 - 14x + 9 = 0\), сначала найдем корни данного уравнения.
Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \(a = 2\), \(b = -14\), \(c = 9\).
Посчитаем дискриминант:
\[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 196 - 72 = 124 \]
Теперь найдём корни уравнения с помощью формулы корней:
\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_1, x_2 = \frac{14 \pm \sqrt{124}}{4} \]
Упростим \(\sqrt{124}\):
\[ \sqrt{124} = 2\sqrt{31} \]
Таким образом, корни уравнения можно записать как:
\[ x_1 = \frac{14 + 2\sqrt{31}}{4} = \frac{7 + \sqrt{31}}{2} \] \[ x_2 = \frac{14 - 2\sqrt{31}}{4} = \frac{7 - \sqrt{31}}{2} \]
Теперь обозначим корни нового уравнения как \(y_1\) и \(y_2\), где \(y_1 = \frac{x_1}{3}\) и \(y_2 = \frac{x_2}{3}\).
Корни нового уравнения:
\[ y_1 = \frac{7 + \sqrt{31}}{6} \] \[ y_2 = \frac{7 - \sqrt{31}}{6} \]
Теперь, чтобы составить квадратное уравнение с данными корнями, воспользуемся формой:
\[ y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2 = 0 \]
Сначала находим сумму и произведение корней \(y_1\) и \(y_2\):
- Сумма:
\[ y_1 + y_2 = \frac{7 + \sqrt{31}}{6} + \frac{7 - \sqrt{31}}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \]
- Произведение:
\[ y_1y_2 = \left(\frac{7 + \sqrt{31}}{6}\right) \left(\frac{7 - \sqrt{31}}{6}\right) = \frac{(7 + \sqrt{31})(7 - \sqrt{31})}{36} = \frac{49 - 31}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \]
Теперь подставим сумму и произведение в уравнение:
\[ y^2 - \frac{7}{3}y + \frac{1}{2} = 0 \]
Для упрощения умножим все уравнение на 6 (для избавления от дробей):
\[ 6y^2 - 14y + 3 = 0 \]
Таким образом, искомое квадратное уравнение, корни которого в 3 раза меньше соответствующих корней уравнения \(2x^2 - 14x + 9 = 0\), является:
\[ 6y^2 - 14y + 3 = 0 \]
