На рисунке изображён прямоугольник АВСD. Точка К,L,M,N-середины его сторон .Найди вероятность,что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырёхугольнику…

Для решения этой задачи начнем с определения фигуры, которая образуется точками K, L, M, и N — серединами сторон прямоугольника ABCD.

1. Определение координат точек:

   • Пусть точка A имеет координаты (0, 0), точка B — (a, 0), точка C — (a, b), точка D — (0, b), где a и b — длины сторон прямоугольника.
   • Тогда середины сторон:
     • K (середина AB) = \(\left(\frac{a}{2}, 0\right)\)
     • L (середина BC) = \(\left(a, \frac{b}{2}\right)\)
     • M (середина CD) = \(\left(\frac{a}{2}, b\right)\)
     • N (середина DA) = \(\left(0, \frac{b}{2}\right)\)

2. Определение площади четырехугольника AMSK:

   • Четырехугольник A (0,0) - M \(\left(\frac{a}{2}, b\right)\) - S (K) \(\left(\frac{a}{2}, 0\right)\) - N \(\left(0, \frac{b}{2}\right)\).
   • Чтобы найти площадь AMKS, можно воспользоваться формулой площади многоугольника по координатам: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right| \] Подставляя координаты точек:
   • A = (0, 0)
   • M = \(\left(\frac{a}{2}, b\right)\)
   • S = \(\left(\frac{a}{2}, 0\right)\)
   • K = \(\left(0, \frac{b}{2}\right)\)

   Получается: \[ S = \frac{1}{2} \left| 0 \cdot b + \frac{a}{2} \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} + 0 \cdot 0 - \left(0 \cdot \frac{a}{2} + b \cdot \frac{a}{2} + 0 \cdot 0 + \frac{b}{2} \cdot 0\right) \right| \] Упрощая: \[ S = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 + \frac{ab}{4} + 0 - (0 + \frac{ab}{2} + 0 + 0) \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{ab}{4} - \frac{ab}{2} \right| = \frac{1}{2} \left| -\frac{ab}{4} \right| = \frac{ab}{8} \]

3. Площадь прямоугольника ABCD:

   • Площадь прямоугольника ABCD равна \( S_{ABCD} = a \times b\).

4. Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике принадлежит четырёхугольнику AMSK: \[ P = \frac{S_{AMSK}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{8}}{ab} = \frac{1}{8}. \]

Итак, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать четырёхугольнику AMSK, равна \(\frac{1}{8}\).