На контрольной работе по алгебре было три задания. Первую задачу решил 21 ученик, вторую задачу- 25 учеников, третью задачу - 15, 14 учеников - первую и вторую, 9- вторую и…
На контрольной работе по алгебре было три задания. Первую задачу решил 21 ученик, вторую задачу- 25 учеников, третью задачу - 15, 14 учеников - первую и вторую, 9- вторую и третью, 8- первую и третью, а 6 учеников решили все три задачи. Сколько учеников решили только одну из трёх задач?
Для решения задачи используем формулу inclusion-exclusion.
Обозначим:
- \( A_1 \) — множество учеников, решивших первую задачу.
- \( A_2 \) — множество учеников, решивших вторую задачу.
- \( A_3 \) — множество учеников, решивших третью задачу.
Дано:
- \( |A_1| = 21 \)
- \( |A_2| = 25 \)
- \( |A_3| = 15 \)
- \( |A_1 \cap A_2| = 14 \) (решили первую и вторую)
- \( |A_2 \cap A_3| = 9 \) (решили вторую и третью)
- \( |A_1 \cap A_3| = 8 \) (решили первую и третью)
- \( |A_1 \cap A_2 \cap A_3| = 6 \) (решили все три задачи)
Сначала найдем, сколько учеников решило хотя бы одну задачу. По формуле включений-исключений:
\[ |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2| - |A_2 \cap A_3| - |A_1 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3| \]
Подставим известные значения:
\[ |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 21 + 25 + 15 - 14 - 9 - 8 + 6 \]
Выполним вычисления:
\[ |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 21 + 25 + 15 - 14 - 9 - 8 + 6 = 21 + 25 + 15 + 6 - 14 - 9 - 8 \] \[ = 67 - 31 = 36 \]
Теперь найдем, сколько учеников решило только одну задачу. Для этого рассчитаем количество решивших только каждую задачу.
Учеников, решивших только первую задачу (\( A_1 \)): \[ |A_1 \text{ только}| = |A_1| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3| \] \[ = 21 - 14 - 8 + 6 = 21 - 22 + 6 = 5 \]
Учеников, решивших только вторую задачу (\( A_2 \)): \[ |A_2 \text{ только}| = |A_2| - |A_1 \cap A_2| - |A_2 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3| \] \[ = 25 - 14 - 9 + 6 = 25 - 23 + 6 = 8 \]
Учеников, решивших только третью задачу (\( A_3 \)): \[ |A_3 \text{ только}| = |A_3| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3| \] \[ = 15 - 8 - 9 + 6 = 15 - 17 + 6 = 4 \]
Теперь сложим количество учеников, которые решили только одну задачу:
\[ |A_1 \text{ только}| + |A_2 \text{ только}| + |A_3 \text{ только}| = 5 + 8 + 4 = 17 \]
Таким образом, количество учеников, которые решили только одну из трех задач, равно 17.
