Найти значения выражения 2√3cos²13π/12-√3

Чтобы найти значение выражения \(2\sqrt{3}\cos^2\left(\frac{13\pi}{12}\right) - \sqrt{3}\), начнем с вычисления \( \cos^2\left(\frac{13\pi}{12}\right) \).

1. Находим значение угла \( \frac{13\pi}{12} \). Этот угол больше \( \pi \), и его можно выразить как: \[ \frac{13\pi}{12} = \pi + \frac{\pi}{12} \] Это значит, что угол находится во втором квадрате.

2. В этом квадрате косинус принимает отрицательное значение. Поэтому: \[ \cos\left(\frac{13\pi}{12}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \]

3. Теперь найдем \( \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \). Используя формулу \( \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(15^\circ\right) \), мы можем выразить его через известные значения: \[ \cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) + \sin(45^\circ)\sin(30^\circ \]

4. Подставляя известные значения: \[ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) \] \[ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

5. Таким образом, \[ \cos\left(\frac{13\pi}{12}\right) = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

6. Теперь можем найти \( \cos^2\left(\frac{13\pi}{12}\right) \): \[ \cos^2\left(\frac{13\pi}{12}\right) = \left(-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}{16} \] \[ = \frac{6 + 2 + 2\sqrt{12}}{16} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \]

7. Подставляем это значение в исходное выражение: \[ 2\sqrt{3}\cos^2\left(\frac{13\pi}{12}\right) - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\left(\frac{2 + \sqrt{3}}{4}\right) - \sqrt{3} \] \[ = \frac{2\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{4} - \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{2} - \sqrt{3} \] \[ = \frac{2\sqrt{3} + 3}{2} - \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3} + 3 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \]

Таким образом, значение выражения равно \( \frac{3}{2} \).