Во сколько раз объем цилиндра больше объёма конуса, если их высоты равны, а радиус основания цилиндра в 2 раза больше диаметра основания конуса?
Для решения этой задачи давайте вспомним формулы объемов цилиндра и конуса.
Объем цилиндра можно найти по формуле: \[ V_{ц} = \pi r^2 h \] где \( r \) — радиус основания цилиндра, а \( h \) — высота цилиндра.
Объем конуса вычисляется по формуле: \[ V_{к} = \frac{1}{3} \pi r_{к}^2 h \] где \( r_{к} \) — радиус основания конуса, а \( h \) — высота конуса.
Давайте определим переменные. Из условия известно, что радиус основания цилиндра в 2 раза больше диаметра основания конуса.
Пусть диаметр основания конуса равен \( d \), тогда радиус основания конуса: \[ r_{к} = \frac{d}{2} \]
По условию, радиус основания цилиндра будет в 2 раза больше этого диаметра: \[ r = 2d \]
Теперь подставим значения радиусов в формулы объемов.
Объем цилиндра: \[ V_{ц} = \pi (2d)^2 h = \pi \cdot 4d^2 h = 4 \pi d^2 h \]
Объем конуса: \[ V_{к} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{d^2}{4} h = \frac{\pi d^2 h}{12} \]
Теперь найдем отношение объемов цилиндра и конуса: \[ \frac{V_{ц}}{V_{к}} = \frac{4 \pi d^2 h}{\frac{\pi d^2 h}{12}} = 4 \cdot 12 = 48 \]
Таким образом, объем цилиндра в 48 раз больше объема конуса, если их высоты равны, а радиус основания цилиндра в 2 раза больше диаметра основания конуса.
