3tg²x+2tgx-1=0

Чтобы решить уравнение \(3\tan^2 x + 2\tan x - 1 = 0\), мы можем использовать замену переменной, обозначив \(\tan x\) как \(t\). Это позволит нам переписать уравнение в следующем виде:

\[3t^2 + 2t - 1 = 0.\]

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант \(D\) находится по формуле:

\[D = b^2 - 4ac,\]

где \(a = 3\), \(b = 2\) и \(c = -1\).

Подставим значения:

\[D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16.\]

Теперь мы можем найти корни уравнения с помощью формулы корней для квадратного уравнения:

\[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Подставляя наши значения:

\[t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}.\]

Теперь найдем два корня:

1. \(t_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3},\)
2. \(t_2 = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1.\)

Теперь мы вернёмся к переменной \(\tan x\):

1. \(\tan x = \frac{1}{3},\)
2. \(\tan x = -1.\)

Теперь мы найдем значения \(x\):

Для \(\tan x = \frac{1}{3}\): \[ x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Для \(\tan x = -1\): \[ x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Итак, окончательные решения уравнения \(3\tan^2 x + 2\tan x - 1 = 0\): \[ x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + k\pi \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]