Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой AB, равной 12. Высота призмы равна 8. Точка M — середина гипотенузы AB. Найти площадь сечения A₁MC.
Чтобы найти площадь сечения A₁MC, сначала определим необходимые элементы фигуры. Дано, что основание прямой призмы — это равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой AB, равной 12, и высотой призмы, равной 8.
Находим стороны треугольника: Пусть AC и BC — это равные стороны равнобедренного треугольника. Обозначим их длину как \( x \). Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2. \] Поскольку \( AC = BC = x \), можем записать: \[ 12^2 = x^2 + x^2 \quad \Rightarrow \quad 144 = 2x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 72 \quad \Rightarrow \quad x = 6\sqrt{2}. \]
Определение координат точек: Выберем координаты:
- A(0, 0, 0)
- B(12, 0, 0)
- C(6, 6, 0) — вершина треугольника, так как высота от C к основанию AB равна 6.
- A₁ будет выше A на высоту призмы: A₁(0, 0, 8)
- B₁ выше B: B₁(12, 0, 8)
- C₁ выше C: C₁(6, 6, 8)
- M — середина AB: M(6, 0, 0).
Находим векторы A₁M и CM:
- Вектор \( \overrightarrow{A₁M} = M - A₁ = (6 - 0, 0 - 0, 0 - 8) = (6, 0, -8) \).
- Вектор \( \overrightarrow{CM} = M - C = (6 - 6, 0 - 6, 0 - 0) = (0, -6, 0) \).
Находим векторное произведение: Для нахождения площади треугольника A₁MC используем формулу для площади треугольника векторными методами: \[ S = \frac{1}{2} || \overrightarrow{A₁M} \times \overrightarrow{CM} ||. \]
Найдём векторное произведение: \[ \overrightarrow{A₁M} \times \overrightarrow{CM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 6 & 0 & -8 \\ 0 & -6 & 0 \end{vmatrix}. \]
Вычисляя, получаем: \[ = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-8) \cdot (-6)) - \mathbf{j}(6 \cdot 0 - (-8) \cdot 0) + \mathbf{k}(6 \cdot (-6) - 0 \cdot 0) \\ = \mathbf{i}(0 - 48) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(-36) \\ = -48\mathbf{i} + 0\mathbf{j} - 36\mathbf{k}. \]
Таким образом, векторное произведение равно \( (-48, 0, -36) \).
Насчитаем длину: Найдём норму этого вектора: \[ ||(-48, 0, -36)|| = \sqrt{(-48)^2 + 0^2 + (-36)^2} = \sqrt{2304 + 1296} = \sqrt{3600} = 60. \]
Площадь треугольника: Теперь подставим в формулу для площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30. \]
Таким образом, площадь сечения A₁MC равна 30 квадратных единиц.
