Вычислите cos2a/sin a если sin a=-3/5, 3π/2

Давайте решим вашу задачу шаг за шагом.

Мы знаем, что \( \sin a = -\frac{3}{5} \), и угол \( a \) находится в четвертой четверти, так как \( \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi \). В четвертой четверти синус отрицательный, а косинус положительный.

Сначала найдем \( \cos a \) с помощью основного тригонометрического тождества:

\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

Подставим значение \( \sin a \):

\[ \left(-\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \]

Вычислим:

\[ \frac{9}{25} + \cos^2 a = 1 \]

Теперь вычтем \( \frac{9}{25} \) из 1:

\[ \cos^2 a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]

Таким образом,

\[ \cos a = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \]

(мы берем положительное значение, так как в четвертой четверти косинус положителен).

Теперь найдем \( \cos 2a \) с помощью формулы:

\[ \cos 2a = 2 \cos^2 a - 1 \]

Подставим найденное значение \( \cos a \):

\[ \cos 2a = 2 \left(\frac{4}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{16}{25} - 1 = \frac{32}{25} - 1 = \frac{32}{25} - \frac{25}{25} = \frac{7}{25} \]

Теперь можно вычислить \( \frac{\cos 2a}{\sin a} \):

\[ \frac{\cos 2a}{\sin a} = \frac{\frac{7}{25}}{-\frac{3}{5}} = \frac{7}{25} \times -\frac{5}{3} = -\frac{7 \times 5}{25 \times 3} = -\frac{35}{75} = -\frac{7}{15} \]

Таким образом, ответ:

\[ \frac{\cos 2a}{\sin a} = -\frac{7}{15} \]