Найдите значение производной функции y=(2x - 3) In(2x -3) в точке = 2.

Чтобы найти значение производной функции \( y = (2x - 3) \ln(2x - 3) \) в точке \( x = 2 \), необходимо сначала найти производную этой функции. Используем правило произведения для нахождения производной.

Функция состоит из двух частей:

• \( u = 2x - 3 \)
• \( v = \ln(2x - 3) \)

По правилу произведения, производная \( y' \) найдется по формуле: \[ y' = u'v + uv' \] где \( u' \) и \( v' \) — это производные функций \( u \) и \( v \).

1. Найдем \( u' \): \[ u' = \frac{d}{dx}(2x - 3) = 2 \]

2. Теперь найдем \( v' \): \[ v = \ln(2x - 3) \] Для нахождения производной \( v \) используем цепное правило: \[ v' = \frac{1}{2x - 3} \cdot \frac{d}{dx}(2x - 3) = \frac{1}{2x - 3} \cdot 2 = \frac{2}{2x - 3} \]

Теперь подставим все найденные выражения в формулу производной: \[ y' = (2)(\ln(2x - 3)) + (2x - 3)\left(\frac{2}{2x - 3}\right) \]

Упростим: \[ y' = 2 \ln(2x - 3) + 2 \]

Теперь подставим значение \( x = 2 \) в производную \( y' \): \[ y' = 2 \ln(2(2) - 3) + 2 = 2 \ln(4 - 3) + 2 = 2 \ln(1) + 2 \]

Поскольку \( \ln(1) = 0 \), то: \[ y' = 2 \cdot 0 + 2 = 2 \]

Таким образом, значение производной функции \( y \) в точке \( x = 2 \) равно \( 2 \).