Обьём треугольной пирамиды S АВС равен 35. Точка Д ле- жит на ребре SC и делит его B отношении 2:5, считая от вер- шины S. Отрезок М№— средняя линия треугольника АВС, парал- лельная стороне АВ. Найдите обьём пирамиды DMNС.
Чтобы найти объем пирамиды \(DMNC\), начнем с известного объема пирамиды \(SABC\), равного 35.
Определение координат и данных: Пусть \(S\) — вершина пирамиды, а \(A\), \(B\), \(C\) — ее основания. Точка \(D\) делит ребро \(SC\) в отношении \(2:5\) от вершины \(S\). Это значит, что \(D\) находится на \( \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7} \) расстояния от \(S\) к \(C\).
Объем пирамиды: Объем пирамиды определяется формулой: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h, \] где \(S_{основания}\) — площадь основания, а \(h\) — высота. В нашем случае выбранное основание — треугольник \(ABC\).
Находим объем пирамиды \(DMNC\): Поскольку точка \(D\) делит ребро \(SC\), то высота пирамиды \(DMNC\) будет равна \(h_D = \frac{2}{7} h\) (высота из \(D\) на основание \(MN\), где \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\)).
Площадь средней линии: Средняя линия \(MN\) делит треугольник \(ABC\) пополам. Площадь средней линии в \(2\) раза меньше площади треугольника \(ABC\): \[ S_{DMN} = \frac{1}{2} S_{ABC}. \] Таким образом, объем пирамиды \(DMNC\) можно выразить как: \[ V_{DMNC} = \frac{1}{3} S_{DMN} \cdot h_D = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} S_{ABC} \cdot \frac{2}{7} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{7} V_{SABC}. \]
Применяем известный объем \(SABC\): Теперь подставим объём \(35\): \[ V_{DMNC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{7} \cdot 35 = \frac{35}{21} = \frac{5}{3} \approx 1.67. \]
Таким образом, объем пирамиды \(DMNC\) равен \(\frac{5}{3}\) или приблизительно \(1.67\) единиц объема.
