прямая y=ax+1 при некотором положительном значении a является касательной к графику функции x^2+4x+10. Найдите a.
Чтобы определить значение \( a \), при котором прямая \( y = ax + 1 \) является касательной к графику функции \( f(x) = x^2 + 4x + 10 \), нужно выполнить следующие шаги:
Найдем производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = 2x + 4. \]
Найдем точку касания. Пусть эта точка имеет координаты \( (x_0, y_0) \). Тогда, поскольку прямая является касательной, её значение в точке касания должно совпадать со значением функции: \[ y_0 = f(x_0) = x_0^2 + 4x_0 + 10. \]
Запишем уравнение для касательной. Касательная в точке \( (x_0, y_0) \) будет иметь следующий вид: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0). \] Подставив \( y_0 \) из предыдущего уравнения, мы получим: \[ y - (x_0^2 + 4x_0 + 10) = (2x_0 + 4)(x - x_0). \]
Сравним с уравнением прямой \( y = ax + 1 \). Для этого подставляем значение \( y \): \[ ax + 1 - (x_0^2 + 4x_0 + 10) = (2x_0 + 4)(x - x_0). \] Приведем уравнение к одному виду: \[ ax + 1 = (2x_0 + 4)x - (2x_0 + 4)x_0 + (x_0^2 + 4x_0 + 10). \]
Теперь приравняем коэффициенты. Важно, чтобы коэффициенты при \( x \) совпадали, и свободные коэффициенты также должны совпадать:
- Приравняем коэффициенты перед \( x \): \[ a = 2x_0 + 4. \]
- Приравняем свободные члены: \[ 1 = - (2x_0 + 4)x_0 + (x_0^2 + 4x_0 + 10). \]
Решим полученную систему уравнений. Подставим \( a \) в уравнение для свободных членов: \[ 1 = - (2x_0^2 + 4x_0) + (x_0^2 + 4x_0 + 10). \] Сложив все, получим: \[ 1 = -x_0^2 + 10. \] Отсюда: \[ x_0^2 = 9 \implies x_0 = 3 \text{ (положительное значение)}. \]
Теперь мы находим \( a \): \[ a = 2(3) + 4 = 6 + 4 = 10. \]
Таким образом, значение \( a \), при котором прямая \( y = ax + 1 \) является касательной к графику функции \( x^2 + 4x + 10 \), равно \( 10 \).
