Решить неравенства : х²≥225 х²+5х<0 -х²+2х≥0 (2х+5)(х+7)≤0 (х+6)(3х-9)>0

Конечно! Давайте решим каждое неравенство по порядку.

1. Неравенство: \(x² ≥ 225\)

   Это неравенство можно переписать в виде: \[ x² - 225 ≥ 0 \] Это выражение можно факторизовать: \[ (x - 15)(x + 15) ≥ 0 \] Теперь определим нулевые точки: \(x = 15\) и \(x = -15\). Для нахождения интервалов, где произведение положительно или ноль, рассмотрим проверочные значения:

   • Для интервала \((-∞, -15)\): например, \(x = -16\): \((-16 - 15)(-16 + 15) = (-31)(-1) > 0\)
   • Для интервала \((-15, 15)\): например, \(x = 0\): \((0 - 15)(0 + 15) = (-15)(15) < 0\)
   • Для интервала \((15, +∞)\): например, \(x = 16\): \((16 - 15)(16 + 15) = (1)(31) > 0\)

   Ответ: \(x ≤ -15\) или \(x ≥ 15\).

2. Неравенство: \(x² + 5x < 0\)

   Для решения этого неравенства сначала найдем его корни: \[ x² + 5x = 0 \implies x(x + 5) = 0 \] Корни: \(x = 0\) и \(x = -5\).

   Теперь рассмотрим интервалы:

   • Для интервала \((-∞, -5)\): например, \(x = -6\): \((-6)(-6 + 5) = (-6)(-1) > 0\)
   • Для интервала \((-5, 0)\): например, \(x = -1\): \((-1)(-1 + 5) = (-1)(4) < 0\)
   • Для интервала \((0, +∞)\): например, \(x = 1\): \((1)(1 + 5) = (1)(6) > 0\)

   Ответ: \(-5 < x < 0\).

3. Неравенство: \(-x² + 2x ≥ 0\)

   Перепишем его в более удобной форме: \[ x² - 2x ≤ 0 \implies x(x - 2) ≤ 0 \] Корни: \(x = 0\) и \(x = 2\).

   Проверка интервалов:

   • Для интервала \((-∞, 0)\): например, \(x = -1\): \((-1)(-1 - 2) > 0\)
   • Для интервала \((0, 2)\): например, \(x = 1\): \((1)(1 - 2) < 0\)
   • Для интервала \((2, +∞)\): например, \(x = 3\): \((3)(3 - 2) > 0\)

   Ответ: \(0 ≤ x ≤ 2\).

4. Неравенство: \((2x + 5)(x + 7) ≤ 0\)

   Найдем корни: \[ 2x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{2}, \quad x + 7 = 0 \implies x = -7 \]

   Проверка интервалов:

   • Для интервала \((-∞, -7)\): например, \(x = -8\): \((2(-8) + 5)(-8 + 7) > 0\)
   • Для интервала \((-7, -\frac{5}{2})\): например, \(x = -6\): \((2(-6) + 5)(-6 + 7) < 0\)
   • Для интервала \((- \frac{5}{2}, +∞)\): например, \(x = 0\): \((5)(7) > 0\)

   Ответ: \(-7 ≤ x ≤ -\frac{5}{2}\).

5. Неравенство: \((x + 6)(3x - 9) > 0\)

   Найдем корни: \[ x + 6 = 0 \implies x = -6, \quad 3x - 9 = 0 \implies x = 3 \]

   Проверка интервалов:

   • Для интервала \((-∞, -6)\): например, \(x = -7\): \((-1)(-30) > 0\)
   • Для интервала \((-6, 3)\): например, \(x = 0\): \((6)(-9) < 0\)
   • Для интервала \((3, +∞)\): например, \(x = 4\): \((10)(3) > 0\)

   Ответ: \(x < -6\) или \(x > 3\).

Это решения для всех ваших неравенств! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.