Сократите дробь: x³+5x²-4x-20/x²+3x-10
Чтобы сократить дробь \(\frac{x^3 + 5x^2 - 4x - 20}{x^2 + 3x - 10}\), начнем с разложения числителя и знаменателя на множители.
Факторизуем знаменатель: Рассмотрим \(x^2 + 3x - 10\). Нам нужно найти такие числа, произведение которых равно -10, а сумма 3. Эти числа - 5 и -2. Таким образом, \[ x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2). \]
Факторизуем числитель: Теперь факторизуем числитель \(x^3 + 5x^2 - 4x - 20\). Попробуем выделить общий множитель. Мы можем сгруппировать: \[ (x^3 + 5x^2) + (-4x - 20) = x^2(x + 5) - 4(x + 5). \] Выносим общий множитель \((x + 5)\): \[ (x + 5)(x^2 - 4). \] В \(x^2 - 4\) можем заметить разность квадратов: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2). \] Таким образом, \[ x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = (x + 5)(x - 2)(x + 2). \]
Теперь подставим факторизованные части в дробь: \[ \frac{(x + 5)(x - 2)(x + 2)}{(x + 5)(x - 2)}. \]
Сокращаем дробь: Мы можем сократить одинаковые множители \((x + 5)\) и \((x - 2)\): \[ = x + 2. \] Однако, следует помнить, что при сокращении дроби мы исключаем случаи, когда исходные множители равны нулю. Это значит, что:
- \(x \neq -5\)
- \(x \neq 2\).
Таким образом, итоговое выражение после сокращения: \[ x + 2, \quad x \neq -5, \; x \neq 2. \]
